2025多元函数微分学第十章多元函数的基本概念第一节第二部分、题型解析题型一：二元函数的极限(★)定义当(,)xy以任意方式趋于00(,)xy时，(,)fxy均趋于A，则00(,)(,)lim(,)xyxyfxyA→=.z=f(x,y)z=fixy)ZX---O&Ef-(o.Yo)Y#L(xry)X解题思路——如果要求00(,)(,)lim(,)xyxyfxy→，但尚不知道其是否存在，则应第一步、先判断.先取一些特殊的路径让00(,)(,)xyxy→判断极限是否存在，如果(1)某种趋向下(,)fxy极限不存在；(2)存在两种不同的趋向，(,)fxy分别趋于两个不同的常数，则极限必定不存在.如果(,)fxy总趋于同一个数A，则进行下一步.第二步、再计算用如下方法来计算函数极限：(1)极限的四则运算法则；(2)等价无穷小的代换法；(3)夹逼准则；(4)有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小，等等.如果题目已知00(,)(,)lim(,)xyxyfxy→存在，或易由上述方法求出极限，则可直接进行第二步计算，无需第一步判断.Pasex+1-INop=/470【例10.1.1】讨论3224200||limxyxyxy→→+是否存在.33Y=X,UnxkX12x+1=0(k+0At)Xtox*+kx)=M1kXY=kX%=0FREE=0..EY=X,Y=*x-...ERPE=0.0x2(4)=Lx:1IInMux"+y2x1412y+r:F.75FRE*=0.【例10.1.2】讨论4424300lim()xyxyxy→→+的存在性.#=Y=kXXkYXYno(x.+k*x+3=MyKi.x=UkX186XY=kx#Y=Exumx!/YXI*(xE43=MeX=M=X35*DzXzy=xERBE2-TA*.题型二：二元函数的连续性(★)解题思路——如果要判断(,)fxy在00(,)xy处是否连续，应先判断00(,)(,)lim(,)xyxyfxy→是否存在，如果不存在则必不连续；如果存在则再判断00(,)(,)lim(,)xyxyfxy→与00(,)fxy是否相等，相等则连续，不相等则不连续.注：多元初等函数在有定义的区域内必然处处连续.f(xy)=(*+y7·Im(2x-y)(1.07E(1.2)P【例10.1.3】讨论函数3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy−=+=在(0,0)处的连续性．PuX-y3Y=kX,y=X,y=-...FRBE=0.(4-Y1+10.07Xtyh=City'0=x-13=(x-y)(x+M+44:(xy).X+yzP+y2*y2im=x-y=0TBERBE=0.=floc)(xy(+100)Y#YL(x0-40)2.高阶偏导数(,)xfxy(,)yfxy共有如下四个二阶偏导数：22()(,)xxzzfxyxxx==2()(,)xyzzfxyyxxy==...
