2025一元函数微分学的概念与计算第三章导数与微分的概念第一节第二部分、题型解析题型一：可导性的判别(★★★★)一、导数的定义1．0x点导数定义00000000()()()()()limlimlimxxxxfxxfxfxfxyfxxxxx→→→+−−===−．0()fx存在00()()fxfx−+=.2.导函数定义0()()()limxfxxfxfxx→+−=称为()fx的导函数，简称导数.3.某点处是否可导的有关结论：结论1设()fx在0x处可导，则|()|fx在0x处不可导的充分条件是0()0fx=且0()0fx.结论20()||fxxx=−仅在0x处不可导.结论3设()gx连续，则0()()||fxgxxx=−在0x处可导的充要条件是0()0gx=.解题思路:判断()fx在0x处是否可导，是常考题型，其思路是思路1——用导数的定义判别.这是最根本的方法，()fx在0x处可导应满足如下3点：(1)有动有静；(2)动静(x)一致；(3)左右导数皆存在且相等.思路2——用导数的几何意义判别：如果0x处不连续或曲线形成尖点或切线是铅直切线，则0x处不可导；如果0x处存在非铅直切线，则0x处可导.思路3——利用某点处是否可导的有关结论判别.【例3.1.1】设11()11xfxx+−=++,则下列说法中正确的是（）(A)()fx在3x=处不连续(B)()fx在3x=处连续但不可导(C)()fx在3x=处可导且2(3)9f=(D)()fx在3x=处可导且1(3)18f=【例3.1.2】设()fx可导，()()(1sin)Fxfxx=+，则(0)0f=是()Fx在0x=处可导的()．(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件【例3.1.3】函数23()(2)fxxxxx=−−−的不可导点的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【例3.1.4】设函数3()lim1nnnfxx→=+，则()fx在(,)−+内()(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.【例3.1.5】求,ab的值，使函数223,0(),0xxxfxaxbx++=+在(,)−+内可导.题型二：凑导数的定义求极限(★★★)解题思路——，如果已知某点导数，求一00型的极限，可考虑凑导数的定义来计算.【例3.1.6】设()fx连续，且1()3lim21xfxx→−=−，则220(1)(1)limhfhfhh→+−−=________.题型三、用导数定义求导数(★★)解题思路——求导数一般用求导公式来进行计算，但遇到如下三种情况，往往用导数定义来求导数：1.抽象函数求导函数()fx；2.分段点处的导数；3.用求导公式求导太复杂.【例3.1.7】设对非零,xy有()()()fxyfxfy=+，且(1)fa=，求()(0)fxx.【例3.1.8】设22024322(1)()(1)arctan21xfxxxx+=−++,则(1).f=题型四：导数的几何应用...
