第19-24节课特征值问题和矩阵的对角化讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

1第四章矩阵特征值2本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对角化的问题。3第一节矩阵的特征值与特征向量(一)矩阵的特征值设A是一个n阶方阵，如果存在一个数，以及一个非零n维列向量，使得定义说明：则称为矩阵A的特征值，而称为矩阵A的属于特征值的特征向量。1、特征值问题是针对方阵而言的；2、特征向量必须是非零向量；3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。4（二）特征值与特征向量的计算方法：,)(AE即要求齐次线性方程组xAE)(有非零解，即方程的根就是矩阵A的特征值，相应非零解即为特征向量。,212222111211nnnnnnaaaaaaaaa记,次多项式的它是n称为矩阵A的特征多项式，5次方程为未知数的一元称以n,次多项式的它是n称为矩阵A的特征多项式，为矩阵A的特征方程。特征方程的根，即为矩阵A的特征值。,212222111211nnnnnnaaaaaaaaa记6计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：1、求特征方程0||AE的全部根，即为矩阵A的全部特征值；2、对每一特征值i，求出齐次线性方程组的一个基础解系rn,,,21,其中r为AEi的秩；则A的属于特征值i的全部特征向量为其中rnkkk,,,21为不全为零的任意数。,2211rnrnkkk7例1设,2178A求A的特征值与特征向量。解2178||AE,0)9)(1(所以A的特征值为.9,121716102，对111177AE,0011相应齐次线性方程组的基础解系为因此属于特征值11的全部特征向量为)0(111kk；,18，对922178||AE.9,121相应齐次线性方程组的基础解系为因此属于特征值92的全部特征向量为)0(222kk.71719AE,0071,29例2设,120010112A求A的特征值与特征向量。解120010112||AE,0)1)(1)(2(所以A的特征值为.1,1,232110,120010112||AE.1,1,2321，对211200301102AE,000100110相应齐次线性方程组的基础解系为因此属于特征值21的全部特征向量为)0(11...