2025定积分的应用第八章第二部分、题型解析题型一：求函数的平均值(★)解题思路——利用公式()()bafxdxfxba=−计算.【例8.1】函数221xyx=−在区间13,22上的平均值为.题型二：求平面图形的面积(★★★)解题思路：平面图形面积根据图形的不同类型，选择相应的计算方法来计算。类型1直角坐标系下求曲边梯形的面积(),[,]fxxab与x轴所围面积|()|baSfxdx=.类型2参数方程型曲线求面积（仅数一、数二）若曲线方程为(),()xxtyyt==且当xa=时,;t=当xb=时,t=.则该曲线在[,]xab内与x轴所围面积为()()()()xxtbayxdxytxtdt=.类型3极坐标系下平面图形面积由曲线()=及射线=,=围成的曲边扇形的面积为21().2Sd=类型4两曲线所围图形面积思路——设平面图形由曲线1()yfx=与2()yfx=所围成，则两曲线所围面积计算如下：1.解两曲线的交点(,)AAAxy和(,)BBBxy的坐标.2.分析图形，确定切割方法，以不分块为妙.3.如果选用竖向切割，则12|()()|BAxxSfxfxdx=−.如果选用横向切割，需要把曲线中分别解出1()xy=与2()xy=，于是12|()()|BAyySyxydy=−.【例8.2】曲线322yxxx=−++与x轴所围成的图形的面积A=________.【例8.3】求曲线22yx=在点1,12处法线与曲线所围成图形的面积.【例8.4】双纽线22222()xyxy+=−所围成的区域面积为________.题型三：求旋转体的体积(★★★★★)二、求旋转体的体积1.求()fx绕x轴旋转所得的旋转体的体积由曲线()yfx=，xa=,xb=及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为2()baVfxdx=.推广：由曲线()yfx=，直线xa=,xb=及0yy=所围成的图形绕0yy=旋转一周所得的旋转体的体积为20[()]baVfxydx=−.2.()xy=绕y轴旋转所得的旋转体的体积由曲线()xy=,直线yc=,yd=及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为2()dcVydy=.3.()yfx=绕y轴旋转所得体积由曲线()yfx=，直线xa=，xb=及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为2|()|baVxfxdx=.推广：由曲线()yfx=，直线xa=，xb=及x轴所围成的平面图形绕0xx=轴旋转一周所得旋转体的体积为02|()()|baVxxfxdx=−.解题思路：如果要求某区域绕x轴(或某水平线)、y轴(或某铅直线)的体积，则思路1——如果该区域边界由一条曲线及x轴或y轴构成，则可用相应公式直接计算.思路2——如果该区域边界由两条曲线所围成，则往往采取“大减小”这种间接法，将两条曲线分别代入公式计算...
