2025极限与连续第二章连续与间断第4节第二部分题型解析题型一、函数的连续性(★★)相关知识点一、函数的连续性1.定义如果00lim()()xxfxfx→=(或0lim0xy→=)，则称函数()fx在0x处连续．2.连续函数如果函数()yfx=在区间I上处处连续，则称()fx为区间I上的连续函数.3.连续函数的性质(1)基本初等函数在其定义域内处处连续，初等函数在其定义区间内处处连续．(2)连续函数的和、差、积、商(分母不等于零)仍为连续函数．(3)连续函数的复合函数仍为连续函数．(4)两个连续函数的复合函数仍为连续函数.解题思路：判断函数()fx的连续性的思路：思路1——非分段点利用连续函数的性质(如初等函数定义区间内处处连续)来判断是否连续.思路2——分段点的连续性通过000()()()fxfxfx−+==来判断.【例2.4.1】()()2,11,0,,101,0,0axxxfxgxxxxxbx−−−==−−，若函数()()fxgx+在R上连续，则().(A)3,1ab==(B)3,2ab==(C)3,1ab=−=(D)3,2ab=−=Dfix+9mn)*X=-1BX=0DM2fM+q]=+-ax=We+[fN+qm]=U[++x)=2Ha=i=f()+9H)=++2+a=a+1U(fI9T=MHxxM[f(x+9)=(x-b)=f(0)+9,)=1-b==1-b.b=2题型二、函数间断点的类型判定(★★★)知识点回顾——间断点的分类第一类间断点:0lim()xxfx−→与0lim()xxfx+→都存在的间断点.1.若0lim()xxfx−→=0lim()xxfx+→但不等于0()fx,或()fx在0xx=无定义，则称0x为可去间断点；2.若0lim()xxfx−→0lim()xxfx+→,则称0x为跳跃间断点.第二类间断点:0lim()xxfx−→与0lim()xxfx+→中至少有一个不存在的间断点.1.若0lim()xxfx−→与0lim()xxfx+→中至少有一个为无穷大,则称0x为无穷间断点；2.当0lim()xxfx→在某个范围内振荡,称0x为振荡间断点.解题思路：求()fx的间断点并判断类型，应第一步：找出可疑间断点——区间内无定义的点(肯定是)、分段点(可能是).第二步：求这些点的极限，根据极限的结果判断是否为间断点并判断类型.【例2.4.2】函数1()tan()xxeexfxxee+=−在[,]−上的第一类间断点是x=().(A)0(B)1(C)2−(D)2AumLe+el-tax=(+e)um*=-Ith.--*0x(e=-e)o(e*-e)e*Cheme-e=0X=0-EE22ex+el-tax+ta)-JusI7Ico=X==/X(e*-e)U↓↓OettelCo↑TnaLe+el-tax=0=x==12x(e=-e)*Iz↓↓t(e+-e)【例2.4.3】设2,0tan()0,01sin,01xxxfxxxx==−，求()fx的间断点并判别类型.①XCOAG,X=KA=KE(KEETEXYnu#tex=0==4(k)E=-T-K7+]XnuD*1+=[mx=0=x=kn+E(k)-25-TO↓co②X0#J,X=1EEEXUs=FT.X=1&=F.③X=0,Iotx=1MS-=-Sm)X=0-K题型三、已知函数间断点，反求参数(★★)解题思路——如果已知()fx的间断点，则知间断点的极限情况，于是问题可转化成已知极限反求参数问题.【例2.4.4】试确定,ab的值,使()()(1)xebfxxax−=−−有无穷间断点0x=,有可去间断点1x=.-:X=0F·Mfit=0=M(xa)(x====X=1375et·Wfin=Mr(x)x.m(e)-b)=0=e-b=0.:b=e#
