4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算学习目标核心素养1．理解n次方根及根式的概念．(一般)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点)3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点、难点)1．通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养．2．通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养.关于根号的故事，最有价值和意义的当属的发现，它导致了第一次数学危机，并促使了逻辑学和几何学的发展．公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石．而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰．对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号2，撼动了学派的基石而被扔进大海．问题：若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示？[提示]这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.11．有关幂的概念一般地，an中的a称为底数，n称为指数．2．根式的相关概念和性质(1)根式的概念一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根；当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．(2)根式的性质①()n＝a.②＝思考1：类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？[提示]a为正数：a为负数：零的n次方根为零，记为＝0.3．分数指数幂(1)定义：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义．(2)意义分数指数正分数指数幂①a＝(a>0)，②a＝()m＝(a>0，m，n∈N*，且为既约分数)负分数指数幂a－s＝(as有意义且a≠0)2幂0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)运算法则①前提：s，t为任意有理数．②法则：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs.思考2：如何理解分数指数幂？[提示](1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化；(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a可能会有意义．当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运...
