1专题03不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数．1.已知函数，如果，且．证明：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用导数，求得函数的单调性，由，化简得，令，整理得，进而得到，转化为证明：，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，当时，；当时，，可得函数在上单调递增，在上单调递减，因为，得，化简得…①，不妨设，可得，2令，则，代入①式，可得，解得，则，故要证，即证，又因为，等价于证明：…②，构造函数，则，故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证②式成立，也即原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．2.已知函数，证明：当时，．【答案】证明见解析.【解析】【分析】通过证明，来求证令，讨论的单调性和最值，以此来证明3【详解】，所以当时，，在上单调递增，当时，在上单调递减．当时，由于，所以；同理，当时，．当时，不妨设，由函数单调性知．下面证明：，即证：，此不等式等价于．令，则，当时，，单调递减，从而，即，所以，而，所以，又，从而f．4由于，且在上单调递增，所以，即证．【点睛】本题考查导数的极值点偏移问题，属于难题四、招式演练：3.已知（1）若，求的最大值；（2）若有两个不同的极值点，，证明:.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，对函数求导，判断出函数的单调性，进而可得函数的最大值；（2）对函数求导，则，即为方程的两个不同的正根，表示出，将韦达定理代入化简，并利用构造新函数判断单调性和最值的方法证得命题成立．【详解】（1）当时，，5所以，则在上是单调递减函数，且有，当时，，即为上的增函数，当时，，即为上的减函数，所以.（2）证明：由题意知：由，则，即为方程的两个不同的正根，故而需满足：，解得，所以令，，令，所以；则为上的减函数，且，所以当时，，即为上的增函数；6当时，，...
