数学第2课时圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题高三一轮复习重难点题型定值问题(2020·高考北京卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求|PB||BQ|的值．【解】(1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为x24b2＋y2b2＝1，又因为椭圆过点A(－2，－1)，所以有44b2＋1b2＝1，解得b2＝2，所以椭圆C的方程为x28＋y22＝1.(2)由题意知直线MN的斜率存在．当直线MN的斜率为0时，不妨设M(－22，0)，N(22，0)，则直线MA：y＝－1－2＋22(x＋22)，直线NA：y＝－1－2－22(x－22)，则yP＝2，yQ＝－2，|PB||BQ|＝1.当直线MN的斜率不为0时，设直线MN：x＝my－4(m≠0)，与椭圆方程x28＋y22＝1联立，化简得(m2＋4)y2－8my＋8＝0，Δ＝64m2－32(m2＋4)＝32(m2－4)＞0，解得m2＞4.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝8m2＋4，y1＋y2＝8mm2＋4.直线MA的方程为y＋1＝y1＋1x1＋2(x＋2)，则P－4，－2（y1＋1）x1＋2－1，即P－4，－（m＋2）y1my1－2.直线NA的方程为y＋1＝y2＋1x2＋2(x＋2)，则Q－4，－2（y2＋1）x2＋2－1，即Q－4，－（m＋2）y2my2－2.所以|PB||BQ|＝（m＋2）y1my1－2my2－2（m＋2）y2＝my1y2－2y1my1y2－2y2＝8mm2＋4－2y18mm2＋4－2y2＝y1＋y2－2y1y1＋y2－2y2＝1.综上，|PB||BQ|＝1.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②变量法：其解题流程为(2020·六校联盟第二次联考)在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1，0)的距离和它到定直线x＝4的距离之比是1∶2，设动点P的轨迹为E.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若CD∥AB，求证：|CD|2|AB|为定值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2|x－4|＝12，将两边平方，并化简得x24＋y23＝1，故轨迹E的方程是x24＋y23＝1.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，易求得|AB|＝3，|CD|＝23，则|CD|2|AB|＝4.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意知k≠0，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，直线CD的方程为y＝kx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．由x24＋y23＝1，y...
