1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司重难点突破13多元函数最值问题目录2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．题型一：消元法例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为______.【答案】/【解析】由得，所以，则，因为，，，所以，令，则，所以在上单调递增，所以由，即，得，所以，所以，令，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为．故答案为：．例2．（2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数满足：，则的最大值为___________.【答案】【解析】由已知得，，令，则，在上单调递增，3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司又因为，所以，，令所以，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以.故答案为：.例3．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数,不等式恒成立,则实数的最大值为__________.【答案】【解析】因为对任给实数,不等式恒成立，所以，令，则，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，取得最小值，，所以实数的最大值为故答案为：题型二：判别式法例4．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若，，则当______时，4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司取得最大值，该最大值为______.【答案】//【解析】令，则，则，即，由，解得：，故，故，解得：，，所以当且仅当，时，等号成立，故答案为：，例5．（2023·全国·高三竞赛）在中，，则的最大值为_______________．【答案】【解析】令，则，即．因为，所以，整理得，，化简得，于是，得，所以的最大值为．5原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司故答案为：.例6．（2023·高一课时练习）设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________.【答案】2【解析】化简得到，根据和得到，解得答案.，则，则，即，，故，，即，即，.故答案为：2.变式1．（2023·江苏·高三专题练习）若正实数满足，则的最大值为_______...
