1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司重难点突破11圆锥曲线存在性问题的探究目录解决存在性问题的技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．题型一：存在点使向量数量积为定值例1．（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．求椭圆E的方程；过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】设椭圆E的方程为，2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司由已知得，解得：，所以．所以椭圆E的方程为．假设存在符合条件的点，设，，则，，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由，得：，，，，，对于任意的k值，上式为定值，故，解得：，此时，为定值；当直线l的斜率不存在时，直线l：，，，，由，得为定值，综合知，符合条件的点M存在，其坐标为．例2．（2023·山西大同·高二统考期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形.3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值?若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，所以，因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以，可求得a=2.故椭圆的方程为.（2）假设存在满足条件的点，当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为，由得，设，所以，则，要使为定值，令，即，此时.4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司当直线的斜率不存在时，不妨取，由，可得，所以.综上所述，存在点，使为定值.例3．（2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为.点在椭圆上，且满足的周长为6.（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两...
