1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司重难点突破02向量中的隐圆问题目录技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：⃗PA⋅⃗PB=λ定理：平面内，若A,B为定点，且⃗PA⋅⃗PB=λ,则P的轨迹是以M为圆心√λ+14AB2为半径的圆证明：由⃗PA⋅⃗PB=λ，根据极化恒等式可知，PM2−14AB2=λ，所以PM=√14AB2+λ，P的轨迹是以M为圆心√λ+14AB2为半径的圆．技巧二．极化恒等式和型：PA2+PB2=λ定理：若A，B为定点，P满足PA2+PB2=λ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心，√λ−12AB22为半径的圆。(λ−12AB2>0)证明：PA2+PB2=2[PM2+(12AB)2]=λ，所以PM=√λ−12AB22，即P的轨迹是以AB中点M为圆2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司心，√λ−12AB22为半径的圆．技巧三．定幂方和型若A，B为定点，{mPA2+PB2=n¿{PA2+mPB2=n¿¿¿¿，则P的轨迹为圆．证明：mPA2+PB2=n⇒m[(x+c)2+y2]+[(x−c)2+y2]=n⇒(m+1)(x2+y2)+2c(m−1)x+(m+1)c2−n=0⇒x2+y2+2(m−1)cm+1⋅x+c2(m+1)−nm+1=0．技巧四．与向量模相关构成隐圆坐标法妙解题型一：数量积隐圆例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最大值为8.其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4例2．（2023·全国·高三专题练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（）A．B．C．D．3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是A．B．C．D．变式2．（2023·北京·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.题型二：平方和隐圆例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，满足，则的最大值为________．例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.例6．（2023·江苏·高二...
