学科网（北京）股份有限公司第27讲圆锥曲线上四点共圆问题一、问题综述四点共圆问题本属于平面几何内容，是数学竞赛中的高频考点，近年来，圆锥曲线中的四点共圆问题也频繁出现在高考试题中.这类试题将圆锥曲线与四点共圆有机地结合在一起，重点考查数学运算能力和推理论证能力，由于问题综合性强，运算量打，大多考生望而生畏，或者在计算时半途而废.解决四点共圆问题，主要涉及的知识有（1）由圆的定义，利用圆心到圆上各点的距离相等;(2)利用相交弦定理（3）利用圆的弦心距，半弦长和和半径构成直角三角形（4）利用直径所对的圆周角为直角，既可以用勾股定理，也可以用斜率方法。当然，如果利用曲线系方程或者参数方程，则可减少计算量，甚至起到事半功倍的效果.下面先用曲线系方程给出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的统一证明：圆锥曲线上四点共圆定理1：若两条直线与圆锥曲线有四个交点，则四个交点共圆的充要条件是证明：两直线组成的曲线方程为，则过四个交点的曲线方程可设为①必要性：若四点共圆，则方程①表示圆，那么①式左边展开式中项的系数为零，即有.充分性：当时，令①式左边展开式中项的系数相等，得，联立解得，，将其代入①式，整理得②下面参数方程给出圆锥曲线上四点共圆的另一个充要条件的统一证明：圆锥曲线上四点共圆定理2：若为有心圆锥曲线上四个不同的点，且直线与交于点，与的倾斜角分别为，则四点共圆的充要条件是证明：设，则直线参数方程为（为参数），代入整理得则，同理得因为四点共圆的充要条件是学科网（北京）股份有限公司所以即因为，所以，又，所以而直线与相交，所以，由得综上所述，四点共圆的充要条件是，当直线与斜率均存在时，即直线与斜率互为相反数.利用上述定理，则在选填中可以“秒杀”圆锥曲线上四点共圆的高考难题.下面不加证明地给出以下结论：结论1已知抛物线的焦点为点，过点的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相交于两点，则四点在同一圆上，则的方程为或结论2若是标准圆锥曲线上的两点，线段的垂直平分线与该圆锥曲线相交于两点，则两点，则四点共圆的充要条件是或结论3若是标准圆锥曲线上的顺次四点，则四点共圆的充要条件是四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中直线中一对直线的倾斜角互补.二、典例精析例1.（2014全国大纲卷文数22理数21）已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.(1)求抛物线的方程；(2)过的直线与相交于，两点，若的垂直平分线与相交于...
