学科网（北京）股份有限公司第8讲齐次化与点乘双根法一、问题综述（1）齐次化1．齐次化原理：若直线与二次曲线相交于，，如图所示，设点、的坐标分别为、，则，．现将二次曲线方程齐次化的方法如下：首先将直线化出“”：将直线化为截距式；其次利用“”构建关于、的齐次方程，操作方法是对二次曲线方程二次方项保持不变，一次方项同乘以“”，常数项同乘以“”的平方，则可把二次曲线方程变为：，将其化简得：，为了简化运算，记，，，则方程可化为：；最后我们对该齐次式两边同时除以可得：，因为，是直线与二次曲线的交点，所以点，点满足方程，因此，是方程的两个根，1学科网（北京）股份有限公司由韦达定理可得（）．2．齐次化适用范围：由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如：，，，，，，前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下：，，．这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的．二、典例分析类型一：定点在坐标原点的斜率问题【例1】已知直线交椭圆于，两点，为坐标原点，若，求该直线方程．【解析】法一（齐次化解法）：设，，步骤1：构建关于、的齐次式：将直线变形为代入进行“”的代换得，整理得；步骤2：构建关于斜率的方程：因为，方程两边同除以，得；步骤3：利用韦达定理转化目标：易知和是方程的两个根，由韦达定理得，即，故所求直线方程为．法二（常规解法）：设，，联立，①代入②消去得，设，，则2学科网（北京）股份有限公司，，所以，解得，故所求直线方程为．【方法小结】本题属于曲线上的两个点与原点连线的斜率之和为定值（斜率之积为定值也可以用本法）问题，通过对直线变形，采取“”的巧用，一般二次方不变，一次方项直接乘以“”，常数项乘以“”的平方，从而构建关于，的二元二次的齐次方程，再两边同时除以得到一个是以原点与曲线上连线的斜率为根的一元二次方程，再借助韦达定理使得问题运算得到简化，我们把这种操作手法称之为“齐次化”．推论1：已知直线交椭圆于，两点，为坐标原点，若，则该直线的斜率为．推论2：已知直线交双曲线于，两点，为坐标原点，若，则该直线的斜率为．推论3：已知直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若，则该直线的斜率为．变式训练1：已知抛物线的方程为，若直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线过定点...
