试卷第1页，共3页学科网（北京）股份有限公司第3题空间距离最值问题（5月）【安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测T14】已知实数，满足，则的最小值为_________．根据已知消元将问题式化为双元变量，利用不等式性质分别放缩计算即可．由已知，则试卷第2页，共3页即，当且仅当时，等号成立．①设点，而．即，当且仅当时，等号成立．②由①②得当且仅当时，等号成立．所求最小值．直接利用闵可夫斯基不等式计算即可．由Minkowski（闵可夫斯基）不等式可知：，，当时，取等．试卷第3页，共3页学科网（北京）股份有限公司补充：闵可夫斯基不等式：设都是正实数，则，构建空间直角坐标系，角度一、利用正方体，结合平面方程、正方体对称性、三角形三边关系计算距离即可；角度二、先根据条件确定P的轨迹平面，再分别注意取等条件时P的轨迹计算即可；角度三、直接根据空间距离，先确定两式为同一平面内的距离之和，再利用对称点（空间中的将军饮马）计算最值即可．角度一、如图，建立空间坐标系，设正方体棱长为2，显然表示平面，令，过，即过，由的任意性，沿轴方向平移形成的平面表示，设为平面上任意一点．记，，由空间距离公式易得：试卷第4页，共3页．角度二、设平面上的动点，则所求表达式表示到，的距离之和，即求的最小值．如图为阴影部分所示平面上的动点，故，（点在线段BC上且为中点处取等最小值）角度三、目标函数表示四个点与平面上动点之间距离的和．易知两点在平面上，它们与平面上动点距离之和的最小值便是这两点间的距离．我们再求点关于平面的对称点，试卷第5页，共3页学科网（北京）股份有限公司首先中点在平面上，所以有，其次，两点连线与平面垂直，所以连线的方向向量就是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为，从而，联立解得，故所求的对称点为，设它与点连线交平面于点，则，且，解得，交点为，此点使得两点与平面上动点距离之和最小，最小值为与之间的距离，又恰为的中点，因此就是平面上到四点距离之和最小的点，所求最小值为．（22-23高二上·浙江温州·期中）1．若，则的最小值为（）A．B．3C．D．42．我们知道平面直角坐标系内直线的一般式方程为，对此进行类比，可知空间直角坐标系内平面的一般方程为；试卷第6页，共3页运用上述知识，已知实数，，满足，则的最小值是.3．对于任意实数，，，的最小值为．（23-24高三下·安徽·阶段练习）4．设是以定点为球心半径为的球面，是一个固定平面，到的距离为．设是以点为...
