1学科网（北京）股份有限公司第1讲抛物线的定义及其应用一、问题综述本讲梳理抛物线的定义及其应用．抛物线的考题中，对抛物线定义的考查一直都是热点．对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题过程．（一）抛物线的定义平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点不在上)．定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．以开口向右的抛物线为例，设抛物线的焦点为F，准线为，点为抛物线上的动点．则有:焦半径；过焦点的弦长为．（二）抛物线定义的应用与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．二、典例分析类型一：利用定义求抛物线的标准方程【例1】已知动圆过定点，且与直线相切，其中．求动圆圆心的轨迹的方程．【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为．【方法小结】涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化为抛物线上的点到准线的距离．【变式训练】00,Mxy02pMFxABABxxp2学科网（北京）股份有限公司1．点与点的距离比它到直线的距离小1,求点的轨迹方程．【答案】【解析】如图，设点的坐标为．由可知可得：点与点的距离等于它到直线的距离．根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以，得．又因为焦点在轴的正半轴上，所以点的轨迹方程为：．2．平面上动点到定点的距离比到轴的距离大1，求动点的轨迹方程．【答案】或．3．若动圆与定圆相外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．【答案】．类型二：利用抛物线定义证明焦点弦或焦半径的相关性质【例2】为抛物线上任一点，为焦点，则以为直径的圆与轴（）A．相交B．相切C．相离D．位置由确定【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是．作于，交轴于，那么，且．作轴于，则是梯形的中位线，．故以为直径的圆与轴相切，选B．【方法小结】类似的问题：对于椭圆和双曲线来说，结论分别是相离或相交．【例2】在抛物线上有两点和，且满足，求证：（1）、和这抛物线的焦点三点共线；（2）1|AF|+1|BF|为定值．【证明】（1） 抛物线的焦点为，准线方程为．∴...
