1学科网（北京）股份有限公司第2讲双曲线的定义及其应用一．问题综述本讲梳理双曲线的定义及其应用．（一）双曲线的定义：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．（二）双曲线定义的应用主要有下面几方面的应用：1．判断轨迹形状；2．求标准方程；3．求最值或范围．二．典例分析类型一：判断轨迹形状【例1】已知是定点，动点满足，且则点的轨迹为（）A．双曲线B．直线C．圆D．射线【解析】由题意得<，所以点的轨迹为双曲线。【方法小结】紧扣椭圆的定义进行判断：设平面内动点到两个定点、的距离之差的绝对值等于定值，即，（1）若，则点的轨迹是双曲线（包括两支）．（2）若，则点的轨迹是双曲线的一支；若，则点的轨迹是双曲线的另一支．（3）若，则点的轨迹是两条射线．（4）若，则点的轨迹不存在．【变式训练】1．方程表示的曲线是，其标准方程是．2．方程表示的曲线是，其方程是．3．方程表示的曲线．【答案】1．双曲线的左支，；2．两条射线，；3．不存在．类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程2学科网（北京）股份有限公司【例1】中，，，且，求点的轨迹方程．【解析】由，得，∴，即，∴点的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）， ，，∴，，，所求轨迹方程为．【方法小结】由于，，的关系为一次齐次式，两边乘以（为外接圆半径），可转化为边长的关系．再根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后求椭圆的标准方程．结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法．【例2】已知双曲线的左右焦点分别是，是双曲线右支上的动点，过作的平分线的垂线，求垂足的轨迹．【解析】设点的坐标为，延长与交于点，连接． 平分，且⊥，∴，．又 点是双曲线右支上的动点，∴，∴，∴，即点在以为圆心，为半径的圆上． 当点沿双曲线右支运动到无穷远处时，趋近于双曲线的渐近线，∴点的轨迹是圆弧，除去点和，方程为．【方法小结】求轨迹与轨迹方程的注意事项（1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．（2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的3学科网（北京）股份有限公司点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．【变式训练】的顶点、，的内切圆圆...
