2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）第8章平面向量8.2向量的数量积的定义与运算律（第2课时）２向量的数量积的定义与运算律我们还规定零向量与任意向量的数量积为０abab模仿功的定义，设与是两个非零向量，定义与的数量积（ｓｃａｌａｒｐｒｏｄｕｃｔ）·abaabbabab即是的模｜｜、的模｜｜与、夹角〈，〉的余弦的乘积bacosbbaacosabab在这个公式中，｜｜〈，〉就是在方向上的数量投影，而｜｜〈，〉就是在方向上的数量投影．22·aaaa�我们约定可以把简记为，它其实就是．·wfsfs�有了这个定义，物理中的功就是力向量与位移向量的数量积ABCABACABBC�例３如图８２６，给定边长为６的正三角形．求和,ABAC�解因为〈〉＝６０，所以,ABBC�又因为〈〉＝１２０，所以类比数的乘法的运算律，我们可以证明向量的数量积运算满足如下运算律abba证明（１）因为〈，〉＝〈，〉，所以结论是显然的．baabaaababaaabab（２）如果和有一个是零向量，或者＝０，那么结论是显然的，从而不妨设和都是非零向量，且０．若＞０，则＝，〈，〉＝〈，〉；若＜０，则＝－，〈，〉＝〈，〉，两种情况代入数量积定义公式，都得到··abab再利用向量数量积的交换律，就得到（）＝（）．由于数量积的交换律和分配律与数的乘法类似，容易证明如下的公式．=0aabcbca（３）如果，那么结论是显然的，从而不妨设０．把、和＋在的方向作投影，根据向量和的投影等于它们投影的和，就得到例４证明：证明（１）的证明如下：对于（２），我们有在8.3节中我们将利用向量的坐标（从而不通过向量的夹角）直接来计算向量的数量积，而上面的公式就提供了计算向量夹角的有效方法．由向量的数量积的定义，可以得到：ab若与均为非零向量，则由向量的数量积的定义，可从数量积来反推向量夹角的公式：··ababababab（１）当且仅当＝０；（２）｜｜，当且仅当∥时等号成立．22·=·=-ababababababaa当与平行且同向时，；当与平行且反向时，．特别地，＝．解因为,3-23abababab...
