2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）第8章平面向量8.1实数与向量的乘法（第3课时）学习目标1.掌握向量的数乘运算及几何意义；2.掌握向量的数乘运算律，并会运用它们进行计算；3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线.３实数与向量的乘法如图８-１-１２，某科考船以１２海里／时的速度匀速沿东北方向航行，中午１２时船的位置在点A处．请描述下午３时和下午４时３０分该船与点A的相对位置同学们一定很容易给出答案：该船下午３时在点A东北方向的３６海里处，而下午４时３０分在点A东北方向的５４海里处．同学们的计算可能是直接把速度的数值乘时间，忽略了速度和位移都是向量这一事实．这样把向量问题简化为数量问题处理，碰到复杂问题（如多个方向位移的合成）时就可能力不从心了．如果回到向量记号，vv4.5vA用表示科考船的速度，即东北方向１２海里／时，那么该船下午３时和４时３０分相对于的位移向量可以直接表示为3和这的３与４．５是时间，它们只是数量（实数）．为了在向量空间中解释这种乘积，我们要先定义实数与向量的乘法．暂不考虑有关量的单位，采用实数与向量乘积的记号，下午３时和４时的单位，由于３及４．５的单位是小时，速度的单位是海里／时，从而下午３时和４时３０分科考船在点A东北方向３６海里处和５４海处．我西南方向３６海里处．v.vA３０分科考船相对于的位移向量就可写为3和45，再考虑有关量的-vAA们还可以把上午９时科考船相对于的位移向量表示成（3），即点数学上实数与向量的乘积只是简单地理解为原向量的倍数．但在实际问题中，向量和实数都有可能被赋予特定的意义和单位，如上例中的速度、位移和时间，它们的乘积就可能有更复杂的含义aa=1a=a=3a=a+a+a容易看出，当是一个正整数时，就是个相加．例如，当1时，；当时，3=aaaa=-a-a-aa当-１时，（-1）与向量的模相等但方向相反，故是向量（-1）的负向量，即（-1）据此，再用下文所示运算律中的第二个公式，我们可以更一般地把（）记为，它是向量的负向量aababb=aab=abab=-a根据实数与向量的乘积的定义，可知是与平行的向量．反之，如果向量与非零向量平行，那么一定存在实数，使得．当向量和同向时，；当向量和反向时．故abR同学们可以验证实数与向量的乘法满足下面的运算律：设、是向量...
