第六章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理素养目标学科素养1．能用计数原理证明二项式定理；(难点)2．正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式；(重点)3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题．(重点)1．逻辑推理；2．数学运算；3．数据分析情境导学公元一六六五年，刚好二十二岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步．二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用．二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具.1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn，n∈N*二项展开式等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式一共有项n＋1二项式系数各项的系数Ckn(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数二项展开式的通项Tk＋1＝，通项为展开式的第k＋1项Cknan－kbk1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在二项式定理中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．()×××2．若(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于()A．9B．10C．11D．12B提示：由二项式定理的公式特征可知n＝10.3．C0n·2n＋C1n·2n－1＋…＋Ckn·2n－k＋…＋Cnn等于()A．2nB．2n－1C．3nD．1C提示：原式＝(2＋1)n＝3n.2．某一项的二项式系数与项的系数(1)二项式系数与项的系数是两个不同的概念．(2)二项式系数Ckn只与二项式的指数及项数有关，它是一个组合数；而项的系数是指通项中除字母之外的部分，它与二项式和二项式系数都有关．1．(x－2)10展开式中x6项的二项式系数为()A．－C410B．C410C．－4C410D．4C410B提示：含x6项为展开式中第5项，所以二项式系数为C410.2．(2x－3)5的展开式中第4项的系数是()A．10B．－10C．540D．－540D提示：由展开式的通项，得T4＝C35·(2x)2·(－3)3＝10×2x2×(－27)＝－540x2，所以第4项的系数为－540.3．(x＋2)8的展开式中的第6项为________，其二项式系数为________．1792x356提示：展开式的第6项是T6＝C58x3·25＝1792x3，其二项式系数为C58＝56.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)(a＋b)n的展开式中的第k＋1项与(b＋a)n的展开式中的第k＋1项相同．()(2)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的对应项的二项式系数相同．()(3)(a＋b)n的展开式中字母a与b的指数之和始终是n.()×√√2．若(2x－3x)n＋3的展开式中共有15项，则自然...
