1专题06含指数式的极值点偏移问题近几年全国各地的模拟试题､高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系．要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系．这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究．★（2016年新课标I卷理数压轴21题）1.已知函数有两个零点．证明：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由参变分离得，，求导，得在递减，在递增，由，得.设，，进而设，，求导判断，从而得，令，代入上式即可证得.【详解】由函数有两个零点，得，不难发现，，故可整理得：，设，则，2求导得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．设，构造代数式：，设，，则，故单调递增，有．因此，对于任意的，．由可知､不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有，令，则有，而在上单调递增，因此：，整理得：．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）证明不等式成立的常用方法：（1）构造部分对称函数；（2）参变分离再构造差量函数；（3）参变分离再构造对称函数；（4）构造加强函数；（5）利用“对数平均”不等式.★（2010天津理）32.已知函数，如果，且．证明：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用导数，求得函数的单调性，由，化简得，令，整理得，进而得到，转化为证明：，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，当时，；当时，，可得函数在上单调递增，在上单调递减，因为，得，化简得…①，不妨设，可得，令，则，代入①式，可得，解得，则，故要证，即证，又因为，等价于证明：…②，4构造函数，则，故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证②式成立，也即原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3.设函数，其图象与轴交于两点，且．证明：（为函数的导函数）．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由题意，，两式相减，得到，记，将转化为，再由导数求出其单调性，从而得...
