2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）第5章导数及其应用5.1导数的概念（第2课时）导数的几何意义导数的几何意义上一小节谈到，研究物体变速运动时，我们把时间分成若干个小时间段，计算每个小时间段中物体的平均速度，借以近似地描述物体的运动状况．当时间段的划分越来越细时，对运动的描述就越来越精确．特别地，在一个时间点周边的时间段越来越小时，如果平均速度趋近于一个稳定值，这个稳定值就是物体运动在这个时间点的瞬时速度．在几何学中有类似的情境：为了研究一条曲线的特性，我们可以把曲线划分成小段，把连接每一小段两端点的线段看作曲线的这个小片段的近似，当曲线的划分越来越细时，用这些小线段连接起来的折线就越来越接近于原来的曲线．我们把连接曲线上任意两点的直线称为这条曲线的一条割线．如图５-１-２，给定曲线上的一点P，考虑以点P为端点的一条小曲线段和割线PQ．像平均速度趋近于瞬时速度那样，当曲线段取得越来越短，即让点Q越来越靠近点P时，如果割线PQ趋近于一条确定的直线，我们就将这条直线称为曲线在点P处的切线．就像瞬时速度是运动在给定时刻的最好描述一样，可以想象，切线是曲线在点P附近性质的最好描述．切线这个术语并不陌生，我们在平面几何的学习中定义过圆的切线，并讨论过它的性质．那里定义的圆的切线是否与这个新定义一致呢？例３如图５-１-３，曲线是圆在x轴及其上方的部分，点P（１，１）和Q（０，）是该曲线上的点．（１）求割线PQ的斜率；（２）对正整数n，令在该曲线上取一系列点借助现代信息技术，适当地计算一些割线的斜率，观察并总结当n逐渐增大时，割线的斜率的变化趋势．解（１）割线PQ的斜率是（２）割线的斜率是借助计算器或计算机可以得到表５-２中关于的近似计算结果（精确到０．００００００００１）：观察表５２可知，当n逐渐增大时，割线的斜率逐渐减小，并趋近于－１．由例３可以看出，根据现在的定义，曲线在点P（１，１）处的切线的斜率是－１，容易求得它的一般式方程是x＋y－２＝０．又因为平面几何所定义的切线垂直于过切点的半径，即向量（１，１）是切线的法向量，所以用点法式求出切线的方程也是x＋y－２＝０．即对于圆来说，两个切线的定义一致.对于任意曲线y＝f（x），如何从定义出发求它在点P处的切线？例３给我们的第一个启示是先求切线的斜率．其实，例３还可以进一步揭示斜率的求法：如果记则其中当n增大时，的稳定值就是这个方法适用于一般...
