2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册）第5章导数及其应用5.1导数的概念（第1课时）初等数学可以帮助我们对匀速运动进行描述分析，也能够顺利解决形状规则物体的测量问题．然而，人类在实际生活中面临的问题往往更为复杂．例如，运动中速度在不断变化，图形的边界不再是规则的，等等．要处理这一类问题，本质上要有处理变化和变化中的瞬时状态的数学工具．这是初等数学所缺乏的，需要用到高等数学特别是微积分的知识．但是，系统学习高等数学的内容不是高中课程所能承担的任务．本章用比较直观和粗略的方式引入微积分中一个最基本的概念———导数，为我们研究函数性质提供了一个工具，从而可以解决变速运动等现实问题由于知识基础不足或者可能产生的理解困难，本章某些公式与定理没有给出证明．我们仅仅要求同学们初步了解这些公式、定理的用途，从而对导数的基本思想有所认识和体会．更深入的学习将在未来的大学课程中继续.在本节的学习中，我们将利用运动中的平均速度趋近于瞬时速度，利用曲线的割线趋近于它的切线，从而初步认识导数这一刻画函数瞬时变化率的工具．１导数的概念当我们乘坐高铁时，常常会在车厢内看到如图５-１-１所示的“”列车信息显示屏．如何理解图中速度３０７ｋｍ／ｈ当物体作匀速运动时，运动的速度v是运动距离s除以运动时间t，即但是，如果一个变速运动的物体在时间段t内的运动距离是s，同样的公式给出的只能是这段运动过程中运动物体的平均速度平均速度难以准确地描述一个变速运动过程．一个自然的想法是把整个运动时间分割成若干个时间段，求每个时间段的平均速度．可以想象，随着时间的分割越来越精细，分段的平均速度对整个运动的描述会越来越精确．以自由落体运动为例，物体下落的距离S（单位：ｍ）与时间t（单位：ｓ）满足函数关系其中g是重力加速度．若近似地取则有考虑从第１秒到第３秒（用区间记号记为［１，３］）时间段里的自由落体运动．它的平均速度是如果把时间分成［１，２］与［２，３］两个时间段，则在这两个时间段中自由落体的平均速度分别是与如果以０.５秒为间隔把［１，３］分为４个时间段，可以得出４个时间段内的平均速度分别是１２．５（ｍ／ｓ）、１７．５（ｍ／ｓ）、２２．５（ｍ／ｓ）与２７．５（ｍ／ｓ）．随着时间段的细分，自由落体的运动状态确实“”得到越来越精确的描述．这种做法其实蕴含着极限这个朴素而深刻的思想．先把时间段分割，在越来越小的时间段对...
