用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司【学生版】微专题：对向量共线定理的理解与初步应用平面向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁；向量共线定理：设是非零向量（即：），则存在唯一实数，使得；向量共线定理含义的理解：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得；在向量共线的充要条件中要注意，否则λ可能不存在，也可能有无数个；【三点共线的等价转化】A，P，B三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB；(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)；【典例】例1、设两向量与不共线．（1）若AB＝＋，BC＝2＋8，CD＝3(－)．求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k＋和＋k共线．【提示】；【解析】；【说明】本题主要考查与应用了平面向量共线定理；思维升华利用共线向量定理解题的策略1、∥⇔【注意：细微的变化哦】是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用；2、当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．3、若与不共线且λ＝μ，则λ＝μ＝0；【变式拓展】第1页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司1、【变条件】若将本例1（1）中“BC＝2＋8”改为“BC＝＋m”，若A，B，D三点共线，则m＝________．【解析】2、【变结论】若将本例（2）中的“共线”改为“反向共线”，则k＝________．【解析】例2、证明：（1）如果，存在不全为的实数，，使得，那么向量与向量是共线向量；（2）如果，向量与向量不共线，且，那么；例3、设OA，OB不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是：OP＝λOA＋μOB且λ＋μ＝1，λ，μ∈R【归纳】1、利用共线向量定理解题的策略（1）∥⇔＝λ()是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线；2、准确理解共线向量定理（1）∥等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1＋λ2＝0成立；（2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ...
