第四章 第二节 向量组的线性相关性与线性表示.pdfVIP免费

第二节向量组的线性相关性与线性表示一、向量组相关性的背景对方程组（1）及0,0,0221122222211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（2）mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222222111212111,,则方程组（1）及（2）可表示为mmnnnnmmbbbbaaaaaaaaa2121222122121111,,,,（1）及（2）Oxxxnn2211bxxxnn2211二、向量组相关性与线性表示的概念1、相关性—设为向量组，令（1）情形一：方程组（1）只有零解，即（1）成立当且仅当，称向量组线性无关；若方程组（1）有非零解，即存在不全为零的常数,使得Oxxxnn2211nkkk,,,21n,,,21021nxxxn,,,21，称向量组线性相关。2、线性表示—设为向量组，令（2）Okkknn2211n,,,21bn,,,,21bkkknn2211情形一：存在常数，使得，即方程组（2）有解，称向量可由向量组线性表示。情形二：若（2）永远不成立，即方程组（2）无解，称向量不可由向量组线性表示。bkkknn2211nkkk,,,21bbn,,,21n,,,21三、向量组相关性与线性表示性质1、向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示。【注解】（1）含有零向量的向量组一定线性相关。（2）向量线性相关的充分必要条件是连个向量成比例。2、设向量组线性无关，若线性相关，则向量可由向量组线性表示。n,,,21n,,,21,bn,,,,21bn,,,213、（1）若向量组线性相关，则向量组线性相关。（2）若向量组线性无关，则向量组线性无关。4、设为个维向量且，则向量组线性相关。5、设为个维向量，则线性无关的充分必要条件是。n,,,21nmnnn,,,,,,121mnnn,,,,,,121n,,,21n,,,21mnmn,,,21n,,,21nnn,,,210|,,,|21n