江苏省高等数学竞赛练习题（七）（15年考研题）答案1、设D是第一象限由曲线21xy=，41xy=与直线,3yxyx==围成的平面区域，函数(,)fxy在D上连续，则(),ddDfxyxy=∫∫__1sin23142sin2(cos,sin)dfrrrdrπθπθθθθ∫∫___.（化为极坐标二次积分）2、20lncoslim_________.xxx→=12−3、22sin()d________.1cosxxxxππ−+=+∫2π44、设Ω是由平面1xyz++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)dddxyzxyzΩ++=∫∫∫_14_.5、设函数()1cos,00,0xxfxxxαβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>在0x=处连续可导，则,αβ满足_0αβ−>__.6、函数(),fuv满足22,yfxyxyx⎛⎞+=−⎜⎟⎝⎠，则11uvfu==∂=∂__0__，11uvfv==∂=∂__12−__.7、3arctan3xtytt=⎧⎨=+⎩则212ddtyx==____48___.8、设()fx连续，()()20xxxftdtϕ=∫，若()()11,15ϕϕ′==，则()1f=__2___.9、若函数(),zzxy=由方程231xyzexyz+++=确定，则()0,0dz=___()1d2d3xy−+___.10、设函数()ln(1)sinfxxaxbxx=+++，3()gxkx=，若()fx与()gx在0x→是等价无穷小，求,,abk的值.解：()30ln1sinlimxxaxbxxkx→+++()()2333330236limxxxxxaxoxbxxoxkx→⎛⎞⎛⎞+−+++−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=()()2343301236lim1xaabaxbxxxoxkx→⎛⎞++−+−+⎜⎟⎝⎠==即10,0,123aaabk+=−==111,,23abk∴=−=−=−11、已知函数(),fxyxyxy=++，曲线C：223xyxy++=，求(),fxy在曲线C上的最大方向导数.解：因为(),fxy沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1xyfxyyfxyx=+=+，故(){},1,1gradfxyyx=++，模为()()2211yx+++，此题目转化为对函数()()()22,11gxyyx=+++在约束条件22:3Cxyxy++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11dxyyx=+++在约束条件22:3Cxyxy++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113Fxyyxxyxyλλ=++++++−()()()()222120212030xyFxxyFyyxFxyxyλλλ′⎧=+++=⎪′=+++=⎨⎪′=++−=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2MMMM−−−−.()()()()12348,0,9,9dMdMdMdM====所以最大值为93=.12、已知曲线L的方程为222,,zxyzx⎧=−−⎪⎨=⎪⎩起点为()0,2,0A，终点为()0,2,0B−，计算曲线积分()()()2222dddLIyzxzxyyxyz=++−+++∫.解：由题意假设参数方程cos2sincosxyzθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→−π22π2[(2sincos)sin2sincos(1sin)sin]dθθθθθθθθ−−++++∫π222π22sinsincos(1sin)sindθθθθθθ−=−+++∫π220222sindπ2θθ==∫13、设0A>，D是由曲线段s...
