南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第一章：极限与连续南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第一节：数列极限◆核心概念：数列极限""N定义：nx为数列，A为给定实数，若0，0N，当nN时，有nxA，称数列nx收敛于A.（等价于数列nx中满足nxA的只有有限项）邻域式定义：nx为数列，A为给定实数，若0，0N，当nN时，有(,)nxUA，称数列nx收敛于A.（等价于在(,)UA之外只有数列nx中的有限项）（1）数列nx不收敛于A00，0N，0nN，使得00nxA；子列描述：数列nx不收敛于A00及nx的子列knx，使得0,knkxA；（2）数列nx发散对A，00，对0N，0nN，使得00nxA；子列描述：数列nx发散00及nx的两个子列(1)(2),kknnxx，使得(1)(2)0,kknnkxx.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系数列极限的性质和相关定理保号性与保序性（保不等式性）：（1）设lim0nnxA→∞=>，则对任意的0pA<<，0N∃>，当nN>时，有0nxp>>；（2）若数列{}nx收敛，且0N∃>，当nN>时，0nx≥，则lim0nnx→∞≥；（3）设limlimnnnnxy→∞→∞>，则0N∃>，当nN>时，有nnxy>；（4）若数列{}nx和{}ny收敛，且0N∃>，当nN>时，nnxy≥，则limlimnnnnxy→∞→∞≥.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系数列极限的性质和相关定理迫敛性（夹逼准则、两边夹定理）：设数列{}{}{},,nnnxyz满足（1）,nnnnxyz∀≤≤，（2）{}{},nnxz收敛且limlimnnnnxzA→∞→∞==，则数列{}ny也收敛，且limnnyA→∞=.注：本定理既给出了证明数列收敛的方法，也给出一种求数列极限的方法（关键是建立不等式）。南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系数列极限的性质和相关定理子列收敛性：若数列{}nx收敛（于A）⇔对{}nx的任意子列{}knx，{}knx均收敛（于A）.注：（1）若数列{}nx收敛于A⇔{}2nx，{}21nx−均收敛于A（利用奇偶数列极限相等是证明数列收敛或求数列极限的一种方法）；（2）若{}nx的一个子列{}knx发散，则{}nx一定发散；（3）若{}nx的两个子列{}{}(1)(2),kknnxx收敛于不同的极限，则{}nx一定发散。南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系数列极限的性质和相关定理单调有界...
