江苏省高等数学竞赛练习题（六）（14年考研题）答案1、21101d(,)dyyyfxyx−−−=∫∫112cossin0002(cos,sin)(cos,sin)dfrrrdrdfrrrdrππθθπθθθθθθ++∫∫∫∫.（化为极坐标二次积分）2、若函数{}2211,(cossin)dmin(cossin)dabRxaxbxxxaxbxxππππ−−∈−−=−−∫∫，则1a=_0__，1b=_2__.3、曲面22(1sin)(1sin)zxyyx=−+−在点(1,0,1)处的切平面方程为__210xyz−−−=__.4、设()fx为周期为4的可导奇函数，且[]'()2(1),0,2fxxx=−∈，则(7)f=____1_____.5、设L是柱面221xy+=和平面0yz+=的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分Lzdxydz+=∫�____π__.6、当0x+→时，若ln(12)xα+，1(1cos)xα−均是比x高阶的无穷小，则α的可能取值范围是_(1,2)_.7、曲线227,41xtytt⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t=的点处的曲率半径=__1010_，1212((1))dlim1ln(1)xtxtettxx→+∞−−=+∫_12_.8、设D是由曲线10xy+=与直线0xy+=及2y=所围成的有界区域，则D的面积为_1ln22+.9、曲线L的极坐标方程为rθ=，则L在点(,),22rππθ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠处的切线方程为__2.2yxππ=−+____.10、长为1的细棒位于x轴区间[]0,1上，若其线密度2()21xxxρ=−++，则该细棒的质心坐标x=1120.11、已知函数(,)fxy满足2(1)fyy∂=+∂，且2(,)(1)(2)lnfyyyyy=+−−，求曲线(,)0fxy=所成的图形绕直线1y=−旋转所成的旋转体的体积．解：由于函数(,)fxy满足2(1)fyy∂=+∂，所以2(,)2()fxyyyCx=++，其中()Cx为待定的连续函数．又因为2(,)(1)(2)lnfyyyyy=+−−，从而可知()1(2)lnCyyy=−−，得到22(,)2()21(2)lnfxyyyCxyyxx=++=++−−．令(,)0fxy=，可得2(1)(2)lnyxx+=−．且当1y=−时，121,2xx==．曲线(,)0fxy=所成的图形绕直线1y=−旋转所成的旋转体的体积为222115(1)(2)ln(2ln2)4Vydxxxdxπππ=+=−=−∫∫.12、设函数()yfx=由方程32260yxyxy+++=确定，求()fx的极值．解：在方程两边同时对x求导一次，得到222(32)'(2)0yxyxyyxy++++=，（１）即222232dyyxydxyxyx−−=++，令0dydx=及32260yxyxy+++=，得到函数唯一驻点1,2xy==−．在（1）式两边同时对x求导一次，得到（22(6'42'4)'(32)"20yyyxyxyyxyxyy+++++++=把1,2,'(1)0xyy==−=代入，得到4"(1)09y=>，所以函数()yfx=在1x=处取得极小值2y=−．13、设平面区域{}22(,)|14,0.0Dxyxyxy=≤+≤≥≥．计算22sin()Dxxydxdyxyπ++∫∫解：由对称性可得222222222201sin()sin()()sin()12sin()113sin2124DDDDxxyyxyxyxydxddxddxdyxyxyx...
