南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第九章：曲线与曲面积分南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第一节：第一型线面积分第一型曲线积分：01(,)dlim(,)niiiLifxysfsλξη→==Δ∑∫.注：（1）d0s>，弧长元素，转换成定积分计算时需要下限小于上限.（2）曲线方程可带入被积函数简化计算.第一型曲面积分：(,,)dfxyzSΣ∫∫01lim(,,)niiiiifSλξηζ→==Δ∑.注：（1）0dS>，这是面积元素.（2）曲面方程可带入被积函数简化计算.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系（1）若:L(),(),xtytφψ=⎧⎨=⎩则22(,)d[(),()]'()'()dLfxysftttttβαφψφψ=+∫∫；（2）若:()Lyxφ=，则2(,)d[,()]1'()dbLafxysfxxxxφφ=+∫∫；（3）若:()Lxyψ=，则2(,)d[(),]1'()ddLcfxysfyyyyψψ=+∫∫；（4）若():(),(),().xtytzttφψωαβΓ===≤≤，则222(,,)d[(),(),()]()()()d()fxyzsftttttttβαφψωφψωαβΓ′′′=++<∫∫直接代入法计算第一型曲线积分本节练习P202，第1题南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系（1）设:(,)zzxyΣ=，Σ在xOy面上得投影区域为xyD，则22(,,)d(,,(,))1ddxyxyDfxyzSfxyzxyzzxyΣ=++∫∫∫∫；（2）设:(,)xxyzΣ=，Σ在yOz面上得投影区域为yzD，则22(,,)d[(,),,]1ddyzyzDfxyzSfxyzyzxxyzΣ′′=++∫∫∫∫；（3）设:(,)yzxzΣ=，Σ在xOz面上得投影区域为xzD，则22(,,)d[,(,),]1dd.xzxzDfxyzSfxyxzzyyxzΣ′′=++∫∫∫∫直接代入法计算第一型曲面积分本节练习P203，第2题南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系例题一：（P197例1）计算4433dCxys⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫，其中C为内摆线222333xya+=的弧.解：令33cos,sinxatyat==，则242242d9cossin9sincosd3cossindsattatttattt=+=，02tπ≤≤.故()()44444333207753320d4cossin3cossind24sindsin4.Cxysattatttattaππ⎛⎞+=+⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠==∫∫∫南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系例题二：（P199例7）计算22()dxySΣ+∫∫�，其中22:zxyΣ=+及1z=所围区域的整个边界曲面.解：221:zxyΣ=+，()22,:1xyxyDxy∈+≤，2212zzxy⎛⎞∂∂⎛⎞++=⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠.2:1zΣ=，()22,:1xyxyDxy∈+≤，1212ΣΣ+ΣΣΣ==+∫∫∫∫∫∫∫∫��，因此()()()()212222200D()d21dd21dd212xyxySxyxyrrrππθΣ+=++=+=+∫∫∫∫∫∫...
