江苏省高等数学竞赛练习题（四）（1011年考研题）答案1、设数列{}na单调递减，1lim0,(1,2,nnnknkaSan→∞====…∑）无界，则幂级数1(1)nnnax∞=−∑的收敛域为[0,2).2、曲线0tan(0)4xytdtxπ=≤≤∫的弧长s=()ln12+.3、设函数20sin(,)d1xytFxytt=+∫，则()()222322222cos12sin1yxyxyxyxyFxxy+−∂=∂+.4、设L是柱面方程为221xy+=与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分2d2yxzdxxdyz++=∫�_π__.5、极限()()2limxxxxaxb→∞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠=__abe−__，110ln(1)lim()xexxx−→+=__12e−___.6、设函数(,)zzxy=由方程,0yzFxx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠确定,其中F为可微函数,且'20F≠则zzxyxy∂∂+=∂∂__z___.7、设20,ln(1)dttxeyuu−⎧=⎪⎨=+⎪⎩∫求202ddtyx==__0____.8、20cosdπxxx∫=__4π−___.9、已知曲线L的方程为[]()11,1yxx=−∈−起点是()1,0−终点是()1,0，则曲线积分2ddLxyxxy+=∫_0_.10、设(){}22,,1xyzxyzΩ=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z=__23___.11、求幂级数()121121nnnxn−∞=−−∑的收敛域及和函数.解：因为()()2221221limlim21nnnnnnxnuxuxn++→∞→∞−==+，所以当21x<即11x−<<时，原幂级数绝对收敛；当1x=±时，级数为11(1)21nnn−∞=−−∑，显然收敛，故原幂级数的收敛域为[1,1]−.因为1122111(1)(1)2121nnnnnnxxxnn−−∞∞−==−−=−−∑∑设()1211(1)(),1,121nnnxfxxn−∞−=−=∈−−∑，则()()211211(1)1nnnfxxx∞−−=′=−=+∑因为()00f=，所以()()()0d0arctanxfxfttfx′=+=∫，从而[]()arctan,1,1sxxxx=∈−.12、设(,())zfxyygx=，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数()gx可导，且在1x=处取得极值()11g=,求211xyzxy==∂∂∂.解：()()()()()12,,zfxyygxyfxyygxygxx∂′′′=+∂()()()()()()()211121,,,zfxyygxxyfxyygxygxfxyygxxxy∂′′′′′=++∂∂()()()()()()()()()()21222,,,fxyygxxygxfxyygxygxgxfxyygxgx′′′′′′′′+++由于()gx在1x=处取得极值()11g=，可知()10g′=.故()()()2111121,11,11,11,1xyzfffxy==∂′′′′′=++∂∂.13、求函数()2221()dxtfxxtet−=−∫的单调区间与极值.解：由21()2ed0xtfxxt−′==∫，可得，0x=，1±，列表讨论如下x(,1)−∞−1−(1,0)−0(0,1)1(1,)+∞()fx′−0+0−0+()fx减极小值增极大值减极小值增因此，()fx的单调增加区间为(1,0)−及(1,)+∞，单调减少区间为(,1)−∞−及(0,1)；极小值：()()110ff=−=极大值为21101(0)(1)2tftedte−−==−∫.14、...
