江苏省高等数学竞赛练习题（五）（1213年考研题）答案1、曲面在点(0,1,1)−处2cos()0xxyyzx+++=的切平面方程为_2xyz−+=−_.2、设221:1Lxy+=，222:2Lxy+=，223:22Lxy+=，224:22Lxy+=为四条逆时针方向的平面曲线，记()33d2d1,2,3,463iiLyxIyxxyi⎛⎞⎛⎞=++−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫�，则{}1234max,,,IIII=__4I___.3、设函数()yfx=由方程()1xyyxe−−=确定，则01lim[()1]nnfn→−＝___1___.4、设sinsincosxtyttt=⎧⎨=+⎩,(t为参数)，则224ddtyxπ==___2___.5、()21lnd1xxx+∞=+∫__ln2___.6、()()1ln1dxtfxtt+=∫，则()10dfxxx=∫__4ln282π−+−______.7、设(){},,1,0,0,0xyzxyzxyz=++=≥≥≥∑，则2dys∑∫=_312__.8、2202xxxdx−∫=___2π__.9、曲线221xxyx+=−的渐近线为____水平渐近线1y=，铅直渐近线1x=__________.10、设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen=−−−�，其中n为正整数,则(0)f′=__1(1)(1)!nn−−−___.11、求幂级数22044321nnnnxn∝=+++∑的收敛域及和函数.解：2222443lim|()|lim||lim2121nnnnnnnnnnnuxxnxxn→∞→∞→∞++===<+，可得11x−<<当1x=±，可得级数2044321nnnn∞=+++∑，显然发散，故收敛域为11x−<<，且(0)3s=；22222221200000443(21)21(21)2()()212121nnnnnnnnnnnnnxxnxxxsxsxnnn∞∞∞∞∞=====++++==+++=++++∑∑∑∑∑210()(21)nnsxnx∞==+∑，可得221212102000000()d(21)d|()1xxnnxnnnnnnxsttntttxxxx∞∞∞∞++=====+====−∑∑∑∑∫∫，即212221()()'1(1)xxsxxx+==−−；21201()221nnxsxxn∞+==+∑，可得21222200012[()]'2()'22()211nnnnnnxsxxxxnx∞∞∞+=======+−∑∑∑，可得22021()dln11xxxsxtxt+==−−∫，可得当0x≠时，211()ln1xsxxx+=−，则222220111ln(1,1)and04431(1)2130nnxxxxnnxxxxnx∞=⎧+++∈−≠++⎪=−−⎨+⎪=⎩∑.12、（1）求函数3(,)()3xyxfxyye+=+的极值；解：先求驻点，令2331()031(1)03xyxxyyfxyxefyxe++⎧=++=⎪⎪⎨⎪=++=⎪⎩，解得112433xxyy=−=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=−=−⎪⎪⎩⎩或为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数232331(22)31(1)31(2)3xyxxxyxyxyyyfxxyxefxyxefyxe+++⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎨⎪⎪=++⎪⎩在点2(1,)3−−处，555333222(1,),(1,),(1,)333xxxyyyAfeBfeCfe−−−=−−=−=−−==−−=因为20,0AACB<−<,所以2(1,)3−−不是极值点.类似的，在点4(1,)3−处，111333444(1,)3,(1,),(1,)333xxxyyyAfeBfeCfe−−−=−==−==−=因为2230,20AACBe−>−=>，所以4(1,)3−是极小值点...
