南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第二章：导数与微分及其应用南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第一节：导数与微分的概念◆导数：设函数()fx在0x点某邻域内有定义，若极限000()()limxxfxfxxx→−−存在，则称()fx在0x点可导，并称极限值为函数()fx在0x点的导数，记为00'(),'()xxfxfx=.注：1.导数的实质是增量比值的极限，00000000()()()()'()limlimlimxxhfxxfxfxhfxyfxxxhΔ→Δ→→+Δ−+−Δ===ΔΔ.2.导数为“局部概念”，函数在一点可导，必须要求函数在该点的某邻域内存在.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系设函数()fx在0x点的邻域0()Ux内连续，在0()oUx内可导，且0lim'()xxfxA→=，则()fx在0x点可导，且0'()fxA=.（1）若()fx在0x点左或右连续，导函数的左或右极限存在，则()fx在0x点左或右可导，并且()fx在0x点左或右导数等于'()fx的左或右极限，即00'()lim'()xxfxfx−−→=或00'()lim'()xxfxfx++→=；（2）若没有()fx在0x点连续的条件，上述结论不成立，即()fx在0()oUx内可导，且0lim'()xxfx→存在，无法得出()fx在0x点可导；（3）本定理可用来求连续函数在分段点或区间端点的导数（避免用定义）导数极限定理本节练习P26，第1题南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系Darboux定理：（1）若函数()fx在[,]ab上可导，且'()'()0fafb+−⋅<，则(,)abξ∃∈，使得'()0fξ=；（2）若函数()fx在[,]ab上可导，且'()'()fafb+−≠，则对任意的常数k介于'()fa+和'()fb−之间，都(,)abξ∃∈，使得'()fkξ=；（3）导函数在[,]ab上未必连续，但一定具有介值性（注意与连续函数的介值性区分）导函数介值定理本节练习P27，第2题南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系()fx可导，则2()fx可导，反之不成立，()fx可导与()fx可导的关系如下：（1）若()fx在0x点连续且0()0fx≠，则()fx在0x点可导与()fx在0x点可导等价；（2）若()fx在0x点连续且()fx在0x点可导，则()fx在0x点可导；（3）()fx在0x点可导与()fx在0x点可导，二者不能互相推出.函数运算的可导性本节P24，例题2南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系()fx在点0x处可导，()gx在点0x处不可导，则（1）()()fxgx±在点0x处一定不可导；（2）()()fxgx⋅在点0x处可能可导，也可能不可导；（3）若()gx在点0x处连续不可导，则()()fxgx⋅在点0x处...
