高考冲刺140分压轴题突破精选好题(七)第一题.已知x,y是[0,2]上的两个随机数,则满足x∙y∈[0,1]的概率为()A.ln22B.1+2ln24C.1+ln24D.1+ln22第二题.已知变量a,b满足b=−12a2+3lna(a>0),若点Q(m,n)在直线y=2x+12上,则(a−m)2+(b−n)2的最小值为()A.95B.3√55C.9D.3第三题.设点M(X0,X0+√2),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则X0的取值范围是______.第四题.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,M,N分别是AC1,A1B1的中点,点P在其表面上运动,则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于______.第五题.平行四边形ABCD内接于椭圆x24+y22=1,直线AB的斜率k1=1,则直线AD的斜率k2=()A.12B.−12C.−14D.−2第六题.已知函数f(x)=lnxx,g(x)=ax−a.(1)若函数g(x)的图象与函数f(x)的图象相切,求a的值及切点的坐标;(2)若m,n∈(0,1],且m>𝑛,求证:√mnnmmn≥em−n.解析:第一题.考察有序实数对(x,y),当x∈[0,2],y∈[0,2],可以在平面直角坐标系中画出区域,为一正方形.设x∙y=t∈[0,1],则y=tx是一个反比例函数,画出函数图像.由t∈[0,1],可得需要计算的部分为y=tx分割成两部分区域中原点所在那部分.考虑t=1的时,y=1x.函数y=1x和y=2相交于点(12,2),与x=2相交于(2,12).计算积分∫(2−1x)dx212=(2x−lnx)|122=(2×2−ln2)−(2×12−ln12)=3−2ln2,则满足x∙y=t∈[0,1]的面积为4−(3−2ln2)=1+2ln2.所以概率为1+2ln24.说五毛钱的话:几何概型和微积分的结合是常见考法,这里关键核心有两点,第一是找到哪部分区域代表考察对象,第二是找到对应的积分函数以及积分上下限.还有本题的特点是一个动态分析,因为x∙y=t∈[0,1],t可以取很多值,所以最后会是一个区域,否则如果是x∙y=1,那么就是一条曲线了,不会是一个区域,这点也要明确.第二题.由(a−m)2+(b−n)2=(√(a−m)2+(b−n)2)2,看成点(a,b)和点(m,n)之间连线距离的平方.其中点(a,b)看成是函数f(x)=−12x2+3lnx上的动点,点(m,n)看成直线y=2x+12上的动点.对直线y=2x+12进行平行移动,设此时直线为y=2x+t,当直线y=2x+t和函数f(x)=−12x2+3lnx相切时,设切点为P,则点P到直线y=2x+12的距离即为两动点连线距离最小值.设切点为(x0,y0),由f(x)=−12x2+3lnx,可得f′(x)=−x+3x,则f′(x0)=−x0+3x0=2,可得x0=1或−3(舍去负值).所以切点P为(1,−12),则到直线2x−y+12=0距离为|2×1−(−12)+12|√22+(−1)2=3√5,再平方可得95.说五毛钱的话:相信这种类型的题大家见了肯定不止一次了,代数问题几何化表达求解一直是处理一些难题的思路,关...
