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空间曲线的切线与法平面空间曲面的切平面与法线一、空间曲线的切线与法平面()()[,]()Cxtyttztϕψαβω==∈=设空间曲线的参数方程为C求由以上方程所确定的曲线的切线及法平面.切线—割线的极限位置；C法平面—过上一点作垂直于该点切线的平面.()()()tttϕψω设，，可导，0000(,,)MxyzCtt=为曲线上对应于的一点，0000(,,)NxxyyzzCttt+∆+∆+∆=+∆为曲线上对应于的一点，xyzOM••N222000()()()0tttϕψω′′′++≠，MN割线的方程为000xxyyzzxyz−−−==∆∆∆考察割线趋近于极限位置—切线的过程上式分母同除以t∆000xxyyzzxyzttt−−−==∆∆∆∆∆∆0NMt→∆→当，即时，曲线C在点M处的切线方程000000()()()xxyyzztttϕψω−−−==′′′过M点并且与切线垂直的平面称为法平面.切线的方向向量称为曲线的切向量.000((),(),())Ttttϕψω′′′=000000()()()()()()0txxtyytzzϕψω′′′−+−+−=000000()()()xxyyzztttϕψω−−−==′′′例1解23:(1,1,1)xtCytMzt===求在点处的切线与法平面方程.(1,1,1)1Mt=点对应于，12(1,2,3)tTtt==(1,2,3)=，111123xyz−−−∴==切线方程为，(1)2(1)3(1)0.xyz−+−+−=法平面方程为例2解03cos:2sincos01tutxeuduCytttze==+==+∫求在处的切线与法平面方程.0(0,1,2)t=对应于点，03(cos,2cossin,3)tttTettte==−(1,2,3)=，012123xyz−−−∴==切线方程为，2(1)3(2)0.xyz+−+−=法平面方程为注000()(1):(,,)()yxCMxyzzxψω==空间曲线在点处的切线与法平面方程.:()()xxCyxzxψω===x以为参数，000001()()xxyyzzxxψω−−−==′′00000()()()()()0xxxyyxzzψω′′−+−+−=00()(2):(,,0)0yyxCMxyz==平面曲线在点处的切线与法平面方程.:()0xxCyyxz===x以为参数，00001()0xxyyzyx−−−==′000()()()0xxyxyy′−+−=000(,,)0(3):(,,)(,,)0FxyzCMxyzGxyz==空间曲线在点处的切线与法平面方程.由隐函数存在定理，()(,)0(,)()yyxFGyzzzx=∂≠⇒∂=若()()xxyyxzzx=⇒==000001()()xxyyzzyxzx−−−==′′00000()()()()()0xxyxyyzxzz′′−+−+−=例3解22222250(3,4,5)xyzMxyz++=+=在点处的求切线与法平面方程.,yzxx将视为的函数，方程组两端直接对求导，2220222xyyzzxyyzz′′++=′′+=(3,4,5)M将代入上式得，000068()10()068()10()yxzxyxzx′′++=′′+=3(1,,0)4T=−3453104xyz−−−∴==−切...