问题的提出泰勒级数函数展开成幂级数一、问题的提出00()nnnaxx∞=−∑给定一个幂级数，上一节我们已讨论其收敛半径、收敛区间，并用分析性质求其和函数，现在来研究反问题.00()().nnnfxaxx∞=−∑已知一函数，将其表示成幂级数问题:1.在什么条件下函数才能展开成幂级数？2.na如果能展开，系数如何求？3.展开式是否唯一？二、泰勒级数1.泰勒公式0()1fxxn+若在点的某邻域内具有直到阶导数，则200000()00()()()()()()2!()()()!nnnfxfxfxfxxxxxfxxxRxn′′′=+−+−++−+，(1)100()()()().(1)!nnnfRxxxxxnξξ++=−+其中位于与之间2.泰勒级数()fx设在所讨论的邻域内具有任意阶导数，形式上，泰勒公式的右边总可写成如下幂级数200000()00()()()()()2!()()(*)!nnfxfxfxxxxxfxxxn′′′+−+−++−+().fx称为的泰勒级数()fx=?3.函数展开成泰勒级数的充要条件(*)()fx问题：是否收敛？若收敛，和函数是否就是？(*)()()()(*).fxfxfx如果收敛于，则就可展开成幂级数，只需将展开成泰勒级数即可定理00()()()()()nfxxUxfxfxRxn→∞设在点的某邻域内具有任意阶导数，则在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式中的余项当时的极限为零，即0lim()0().nnRxxUx→∞=∈，证明000()00()()()()()()()!nnnfxfxfxxxfxxxRxn′=+−++−+1()()nnsxRx+=+，1()()().nnRxfxsx+=−则0()xUx∈对于任意的，()fx能展开成泰勒级数1lim()()nnsxfx+→∞⇒=lim()0.nnRx→∞⇒=⇐⇐0()lim()0()()()nnxUxRxfxfxfx→∞∈=对于任意的，若，则的泰勒级数收敛且和函数就是，故函数可展开成泰勒级数，即000()000()()()()()()().!nnfxfxfxxxfxxxxUxn′=+−++−+∈，00x=当时，()2(0)(0)()(0)(0)2!!nnfffxffxxxn′′′=+++++().fx称为的麦克劳林级数4.展开式的唯一性2012()()nnfxaaxaxaxfx=+++++能设，则展开式唯一，且就是的麦克劳林级数.()(0).!nnfan=只需证明系数幂级数在收敛区间内可逐项求导，∴21123()23nnfxaaxaxnax−′=+++++223()2!32(1)nnfxaaxnnax−′′=+⋅++−+()1()!(1)(1)2nnnfxnannnax+=++−+0x=将代入得，0(0)af=，1(0)af′=，2(0)2!fa′′=，()(0)!nnfan=，，重要结论000()lim()0nnfxxxRxRxxxR→∞−<=−<在内能展开成点处泰勒级数的充分必要条件为，，且展开式唯一.200000()00()()()()()()2!()()!nnfxfxfxfxxxxxfxxxn′′′=+−+−++−+，0.xxR−<三、函数展开成幂级数1.直接展开法(1)()fx写出的泰勒...
