利用直角坐标计算二重积分利用极坐标系计算二重积分二重积分的换元法一、利用直角坐标计算二重积分方法：将二重积分化为二次积分来计算.(注：不加以严格推导，只从几何直观来得出计算方法，所得结果也适用于一般二重积分）选取一种特殊分法，xyoDxyD用两组分别平行于轴，轴的直线去划分区域，(,)Dfxydσ∫∫设存在，ddxdyσ=面积元素，(,)(,).DDfxydfxydxdyσ=∫∫∫∫因此有一个立体，该立体垂直于某一定直线的所有截面面积是已知的，则该立体的体积可以用定积分来计算.xoabx()Axxx表示过点且垂直于轴的截面的面积，()Axx为的已知连续函数，[,]xxab∈以为积分变量，，[,][,]xxxab+∆⊂取典型小区间，()dVAxdx=体积元素，立体的体积().bbaaVdVAxdx==∫∫xx+∆计算方法(,)0fxy≥设，(,).DfxydxdyV∫∫表示曲顶柱体的体积12()()xyxDaxbϕϕ≤≤≤≤又设：，.V求体积000[,]().abxxxAxV=思路：在区间上任取一点，用平面去截曲顶柱体，假设所截截面的面积为，由已知截面面积的立体体积的计算公式求得0()Ax=关键如何求？A(x0))(1xyϕ=xzoyD)(2xyϕ=(,)zfxy=xyoDabx0)(01xyϕ=)(02xyϕ=0()Ax—曲边梯形面积0(,)()zfxyy=以曲线为曲边关于的一元函数，1020[(),()]xxϕϕ以区间为底，2010()00()()(,).xxAxfxydyϕϕ=∫00(1)[,]abxxx=在上任取一点，用平面截曲顶柱体得一曲边梯形：2010()00()()(,)xxAxfxydyϕϕ=∫其面积10200[(),()](,)xxzfxyϕϕ=以区间为底，以曲线为曲边210()()[,]()(,)xxxabAxfxydyϕϕ=∫令取遍区间上所有值，得到(2)由已知截面面积的立体体积公式21()()[(,)]bxaxfxydydxϕϕ=∫∫()baVAxdx=∫21()()(,)bxaxdxfxydyϕϕ=∫∫记注(,)0fxy≥公式中的限制可以去掉.abD1()yxϕ=2()yxϕ=12()()axbxyxϕϕ≤≤≤≤如果积分区域为：，，12()()[,]xxabϕϕ其中函数，在区间上连续，X型区域穿过区域D内部并且平行于y轴的直线与区域D的边界相交不多于两点.21()()(,)(,).bxaxDfxyddxfxydyϕϕσ=∫∫∫∫yx先对后对的二次积分.xy第一次求积分时，把看作常数，对求积分.12()()cydyxyϕϕ≤≤≤≤如果积分区域为：，，12()()[,]yycdϕϕ其中函数，在区间上连续，Y型区域穿过区域D内部并且平行于x轴的直线与区域D的边界相交不多于两点.21()()(,)(,).dycyDfxyddyfxydxϕϕσ=∫∫∫∫xy先对后对的二次积分.yx第一次求积分时，把看作常数，对求积分.Dcd2()xyϕ=1()xyϕ=若积分区域D如图所示，在划分后的每个部分区域上分别使用二重积分的计...
