概念的引入第一类曲面积分的定义第一类曲面积分的计算一、概念的引入实例:曲面的质量(,,).xyzMρΣΣ设为光滑曲面，其面密度函数在上连续，求该曲面的质量xyz∑nΣ将任意分成个小曲面片，1niiMM==∆∑iS∆(,,)iiiiiMSρξηζ∆≈∆(,,)iiiξηζ1(,,)niiiiiSρξηζ=≈∆∑01lim(,,)niiiiiMSλρξηζ→==∆∑二、第一类曲面积分的定义1.定义(,,)fxyzΣ设是定义在光滑曲面上的有界函数，12,,,ninSSSSiΣ∆∆∆∆将曲面任意分成个小曲面片，其中表示第个小曲面片，也表示它的面积，(,,)(,,)(1,2,,)iiiiiiiiSfSinξηζξηζ∆∆=在每个小曲面片上任取一点，作乘积，1(,,)niiiiifSξηζ=∆∑并作和，nλ记为个小曲面片直径的最大值，0λ→如果当时，该和式的极限存在，(,,)()fxyzΣ则称此极限为函数在曲面上第一类曲面积分对面积的曲面或积分的，(,,)fxyzdSΣ∫∫记作，01(,,)lim(,,).niiiiifxyzdSfSλξηζ→=Σ=∆∑∫∫即积分曲面被积函数被积表达式面积元素积分和式注(1)(,,).fxyzdSΣΣ∫∫若为闭曲面时，记为(2)(,,)(,,).fxyzfxyzdSΣΣ∫∫当在光滑曲面上连续时，定义中积分和式的极限一定存在，即第一类曲面积分存在2.物理意义(,,)(,,).xyzMxyzdSρρΣΣ=∫∫面密度为连续函数的光滑曲面的质量3.第一类曲面积分的性质(1)1dSdSSΣΣ==Σ∫∫∫∫积分曲面的面积.12(,,)(,,)(,,)fxyzdSfxyzdSfxyzdSΣΣΣ=+∫∫∫∫∫∫(2)对积分曲面的可加性：12Σ=Σ+Σ三、第一类曲面积分的计算—化为二重积分(1)(,)xyzzxyxOyDΣ=Σ设曲面：，在面上的投影区域为，221xydSzzdxdy=++面积元素，由第一类曲面积分的定义，22(,,)[,,(,)]1.xyxyDfxyzdSfxyzxyzzdxdyΣ=++∫∫∫∫(2)(,)zxyyxzzOxDΣ=Σ设曲面：，在面上的投影区域为，(,,)fxyzdSΣ∫∫22[,(,),]1.zxxzDfxyxzzyydzdx=++∫∫(3)(,)yzxxyzyOzDΣ=Σ设曲面：，在面上的投影区域为，(,,)fxyzdSΣ∫∫22[(,),,]1.yzyzDfxyzyzxxdydz=++∫∫例122()525.xyzdSyzxyΣ++Σ+=+=∫∫计算，其中为平面被柱面所截得的部分解5zyΣ=−积分曲面：，2225xyDxy+≤投影区域：，0xz=，1yz=−，221xydSzzdxdy=++2dxdy=，210(1)dxdy=++−()xyzdSΣ++∫∫[(5)]2xyDxyydxdy=++−⋅∫∫2(5)xyDxdxdy=+∫∫25002(5cos)drrdrπθθ=+⋅∫∫1252.π=例22222()1xydSzxyzΣ+Σ=+=∫∫计算，其中是圆锥面及平面所围立体的整个边界曲面.解Σ=Σ+Σ平锥22zxyΣ=+锥：，221xyDxy+≤：，22xxzxy=+，22yyzxy=+，2dSdxdy=，1...
