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利用柱面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分θxyzo1.柱面坐标(,,)Mxyz(,,0)Mxy′(,,)Mrzθrz—柱面坐标002rzθπ≤<+∞≤<−∞<<+∞规定：，，cossinxryrzzθθ===直角坐标与柱面坐标的关系：22rxy⇒=+(,,)(,,)MxyzMrzθ→柱面坐标系的三组坐标面xyzOxyzOxyzOr=常数圆柱面θ=常数半平面z=常数水平面2.利用柱面坐标计算三重积分(,,)fxyzdvΩ∫∫∫设存在，选取一种特殊分法，n⇒Ω用柱面坐标系的三组坐标面将分成个小闭区域，则xyozθddz()dvrddrdzrdrddzθθ==体积元素，(,,)(cos,sin,).fxyzdvfrrzrdrddzθθθΩΩ=∫∫∫∫∫∫12{(,,)(,)(,)(,)}xyzzxyzzxyxyDΩ=≤≤∈，，12{(,)()()}Drrθαθβϕθϕθ=≤≤≤≤，，21(cos,sin)(cos,sin)(,,)(cos,sin,)zrrzrrDfxyzdvrdrdfrrzdzθθθθθθθΩ=∫∫∫∫∫∫2211()(cos,sin)()(cos,sin)(cos,sin,).zrrzrrdrdrfrrzdzβϕθθθαϕθθθθθθ=∫∫∫例12222243.IzdxdydzxyzxyzΩ=Ω++=+=∫∫∫计算，其中是由球面与抛物面所围成的区域解2222243.xyzxyzxOyxOy++=+=球面与抛物面所围成的区域在面上的投影为二者交线在面上的投影曲线所围成的区域xOy而二者交线在面上的投影曲线为2230xyz+==223Dxy+≤故：.2224xyz++=223xyz+=224rz⇒+=，23rz⇒=，2240203.3rzrrθπΩ≤≤−≤≤≤≤：，，IzdxdydzΩ=∫∫∫22234003rrdrdrzdzπθ−=∫∫∫13.4π=例2222()228.IxydxdydzyOzyzzzzΩ=+Ω===∫∫∫计算，其中是由面上的曲线绕轴旋转一周所形成的曲面与两平面，所围成的立体解一22yOzyzz=面上的曲线绕轴旋转一周所形成的曲面方程为222xyz+=，所围成的立体如图:2D1D所围成立体的投影区域如图:22116Dxy+≤：，2228xyzz+==21802042rzrθπΩ≤≤≤≤≤≤：，，，2224Dxy+≤：，2222xyzz+==2220202.2rzrθπΩ≤≤≤≤≤≤：，，12III∴=−122222()()xydxdydzxydxdydzΩΩ=+−+∫∫∫∫∫∫218312rDIdrdrdzθ=∫∫∫22248300rddrrdzπθ=∫∫∫543π=，222322rDIdrdrdzθ=∫∫∫22222300rddrrdzπθ=∫∫∫423π=，544233Iππ=−336.π=解二2D1D所围成立体的投影区域如图:221416Dxy≤+≤：，2228xyzz+==21802242rzrθπΩ≤≤≤≤≤≤：，，，2224Dxy+≤：，2222xyzz+==2280202.zrθπΩ≤≤≤≤≤≤：，，12III∴=+122222()()xydxdydzxydxdydzΩΩ=+++∫∫∫∫∫∫218312rDIdrdrdzθ=∫∫∫22248302rddrrdzπθ=∫∫∫288...