第四章数字特征一．主要内容随机变量的数学期望方差协方差和相关系数二．课堂练习1．一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10.2和0.3,假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望和方差.()()222:X:P(X0)0.504,P(X1)0.398P(X2)0.092,P(X3)0.006E(X)00.50410.39820.09230.0060.6E(X)0.820,DXE(X)E(X)0.46=========×+×+×+×===−=解法一先求出的分布律则i1231231231231,i,:Xi1,2,3,0,i,XXXX,X,X,X,E(X)E(X)E(X)E(X)0.10.20.30.6,D(X)D(X)D(X)D(X)0.46===++==++=++===++=第个部件需要调整解法二设第个部件不需要调整且相互独立2X2.X~U(0,1),(1)Ye;(2)Cov(X,Y)=设求的概率密度求2YXX1,1ye,11112yf(y)f(lny)(lny)f(lny)2222y0,.<<′===其它12X2x2012X2x202211(2)E(X),E(Y)E(e)edx(e1)221E(XY)E(Xe)xedx(e1),4Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)111(e1)(e1).442====−===+=−⋅=+−−=∫∫则3.(X,Y)1,|y|x,0x1,f(x,y):E(X),E(Y),Cov(X,Y)0,,<<<=设随机变量的概率密度为求其它1x0x1x0x1x0x2E(X)xf(x,y)dxdyxdxdy,3E(Y)yf(x,y)dxdydxydy0,E(Y)yf(x,y)dxdydxydy0,Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0+∞+∞−∞−∞−+∞+∞−∞−∞−+∞+∞−∞−∞−=========∴=−⋅=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫E(X),E(Y)X,Y求时，也可以先求的边缘密度，再用一个随机变量的数学期望公式求。12341232344.,,,,,X,Y,:XYξξξξ=ξ+ξ+ξ=ξ+ξ+ξ设相互独立同分布且方差有限令试求与的相关系数2ii222222212323422XY22E(),D(),i1,2,3,4E(X)3,E(Y)3,D(X)3,D(Y)3,E(XY)E()()72()92Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)2.Cov(X,Y)22.3D(X)D(Y)33ξ=µξ=σ==µ=µ=σ=σ=ξ+ξ+ξξ+ξ+ξ=µ+σ+µ=µ+σ∴=−⋅=σσρ===σ⋅σ设则222iij2ijE(),ijE()E()E(),ijξ=σ+µ=ξξ=ξξ=µ≠注2X5.X~N(,),E|X|;(2)E(e).µσ−µ设求:(1)22(x)21(1)E|X||x|edx2−µ−+∞σ−∞−µ=−µπσ∫22xttt22012|t|edt2tedt.22−µ=σ−−+∞∞−∞σ=σσ==σππσπ∫∫令2(x)2t2222221222txXx1122(t)12(2)E(e)eedx(t)eedteedte−µσσσ+∞+∞−−+σ−µµσπσπ−∞−∞+∞µ+−+σµ+π−∞=====∫∫∫令6.设随机变量X，Y相互独立，都服从1N02（，）分布，求：1（）E|X-Y|;(2)D|X-Y|.2221XYN(0)XYN(01).22E|XY|,D|XY|E[(XY)][E|XY|]22D(X-Y)[E(XY)]1XY−−=−=−−−π=+−−=−ππ−因与相互独立，都服从，分布，则服从，分布...
