在学习导数时，曾做过如下类型的题目：22122cossin0.dxxcktcktkxdt=++=验证函数满足方程证明12sincosdxkcktkcktdt=−+；222122cossindxkcktkcktdt=−−，222220dxdxxkxdtdt+=将以及代入方程，即得证.2220dxkxdt+=该方程与代数方程不同.().它是一个含有函数未知函数及函数导数的方程，这就是一个微分方程在很多力学、物理、几何等问题中，往往直接寻找各变量之间的函数关系并不容易，但却容易建立含有未知函数及其导数或微分的关系式.再通过微分方程的求解，得到各变量之间的函数关系.本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用微分方程的解法.问题的提出微分方程的定义及相关概念一、问题的提出.在介绍基本概念之前，先来看两个简单的例子例1(1,2)2.Cx设一曲线过点，且曲线上任意一点切线的斜率为，求该曲线的方程解()Cyyx=设曲线的方程为，2(1)dyxdx=由导数的几何意义可知，12.(2)xy==另外(1)x对式两端分别关于积分，得22(3)yxdxxC==+∫，(1)这表明满足方程的函数有无穷多个.12(3)xy==将代入式，得1.C=2()1.(4)yxx∴=+所求曲线的方程为解()sst=设列车刹车后的运动规律函数为，则220.4(5)dsdt=−，00ts==另外，例22200.4msams=−设一列车以的速度沿平直线路行驶，刹车获得加速度，问列车刹车后多少时间才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程.0020(6)ttdsvdt====.(5)t对式两端分别关于积分，得10.4(7)dsvtCdt==−+，再次积分，得2120.2(8)stCtC=−++.020(7)tv==将代入式，得120C=，00(8)ts==将代入式，得20.C=20.4200.220.(9)dsvtsttdt∴==−+=−+，0v=令，得50()ts=，50(9)t=将代入式，得500().sm=二、微分方程的定义及相关概念定义.凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程都称为微分方程注1.未知函数的导数必须出现.221(1)22(5)0.4.dyxdxdsdt==−例中的方程：，例中的方程：2.若未知函数为一元函数，则称为常微分方程；否则称为偏微分方程.定义微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.12例中微分方程为一阶，例中微分方程为二阶.3222()43xyxyxyx′′′′′′+−=三阶(4)410125sin2yyyyyx′′′′′′−+−+=四阶n一般地，阶微分方程的形式为()()(,,,,)0(0).(10)nnFxyyyy′=≠()()()()(1)(,,,,)0(0)(10)(10)(,,,,).(11)nnnnnnFxyyyyyyfxyyy−′=≠′=如果能从阶微分方程中解出，则微分方程也可表示为约定在本章中所讨论的微分方程都是已经解出最高阶导数的方程(11)或者能解出最高阶导数的方程(1...
