问题的提出第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的计算一、问题的提出实例:变力沿曲线作功问题(,)((,),(,))(,)(,)FxyPxyQxyxOyALBPxyQxyLF=设一质点受变力作用在平面内从点沿光滑曲线运动到点，其中，在上连续，求变力所作的功.()FS分析：常力经位移直线段所作的功WFS=⋅()()FxabFx变力沿直线从点运动到点，其中变力的方向与运动方向一致，()()badWFxdxWFxdx==∫，.本题的解法与定积分类似oxyABLix∆iy∆分割0111111(,)(,).nnnnAMMxyMxyMB−−−==，，，，1M2M1−iMiM1−nM1()()iiiiMMxiyj−=∆+∆近似1niiWW==∆∑),(iiηξ(,)(,)(,)iiiiiiFPiQjξηξηξη=+1(,)iiiiiWFMMξη−∆≈⋅(,)(,).iiiiiiPxQyξηξη=∆+∆求和1[(,)(,)]niiiiiiiPxQyξηξη=≈∆+∆∑取极限01lim[(,)(,)].niiiiiiiWPxQyλξηξη→==∆+∆∑二、第二类曲线积分的概念1.定义(,)(,)LxOyABPxyQxyL设为平面内从点到点的一条有向光滑曲线弧，函数，在上有界.11122211110111(,)(,)(,)(1,2,,)nnniiniiiiiiLnMxyMxyMxyLnMMinMAMBxxxyyy−−−−−−−===∆=−∆=−在上任意插入个分点，，，，，把分成个有向小弧段；，，设，，(,)(,)iiiiiPxξηξη∆在每个有向小弧段上任取一点，作乘积，1(,).niiiiPxξη=∆∑并作和nλ记为个有向小弧段长度的最大值，0λ→如果当时，该和式的极限存在，(,)()PxyxL则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分第二类曲线积分或，(,)LPxydx∫记作，01(,)lim(,).niiiLiPxydxPxλξη→==∆∑∫即类似可定义01(,)lim(,).niiiLiQxydyQyλξη→==∆∑∫()L积分弧段积分路径，(,)(,)PxyQxy，被积函数.注(2)(,)(,).LLLPxydxQxydy∫∫若为有向闭曲线时，记为，(1)0.iiixys∆∆∆>与第一类曲线积分相比，这里，可正可负，而(3)(,)(,)(,)(,).LLPxyQxyLPxydxQxydy∫∫当，在有向光滑曲线弧上连续时，定义中积分和式的极限一定存在，即第二类曲线积分，存在(4)(,)(,)(,)(,)LLLPxydxQxydyPxydxQxydy∆+=+∫∫∫组合形式(,)(,)LLPxydxQxydyFds+=⋅∫∫(,)(,)(,).FxyPxyiQxyjdsdxidyj=+=+其中，2.推广Γ空间有向光滑曲线弧(,,)(,,)(,,).PxyzdxQxyzdyRxyzdzΓ++∫01(,,)lim(,,)niiiiiPxyzdxPxλξηζΓ→==∆∑∫；01(,,)lim(,,)niiiiiQxyzdyQyλξηζΓ→==∆∑∫；01(,,)lim(,,).niiiiiRxyzdzRzλξηζΓ→==∆∑∫LFdr=⋅∫，3.性质12(1)L...
