函数组的线性相关与无关概念n阶线性微分方程的一般形式二阶线性微分方程解的结构一、n阶线性微分方程的一般形式()(1)11()()()()nnnnyPxyPxyPxyfx，−−′++++=12(),(),,()()nPxPxPxfx其中为系数函数，为自由项.2.()0()0fxnfxn当时，称为阶齐次线性方程；当时，称为阶非齐次线性方程.=≠注1.线性方程的特点：()(1),,,nyyy关于都是一次；′(2)x系数函数和自由项都是关于的函数.从本节起我们开始讨论高阶线性微分方程.因为在很多工程、物理等问题中，所遇到的高阶微分方程往往是线性方程.在研究过程中以二阶线性微分方程为例：()()().yPxyQxyfx′′′++=()0fx当时，二阶齐次线性微分方程；=()0fx当时，二阶非齐次线性微分方程.≠二、函数组的线性相关与无关概念定义12(),(),,()nyxyxyxIn设为定义在区间上的个函数，121122,,,()()()0nnnkkkxIkyxkyxkyx如果存在一组不全为零的常数，使得当时，恒有成立，∈+++=nI则称这个函数在区间上线性相关；否则称为线性无关.例1.判断下列函数组是否线性相关22(1)1sincos(,).xxx，，，∈−∞+∞解221sincos0xx，−−=12311kkk取，，===−函数组线性相关.∴23(2)0(,).xxxx，，，，∈−∞+∞解23100000xxx，⋅+⋅+⋅+⋅=123410kkkk取，，====函数组线性相关.∴2(3)1(,).xxx，，，∈−∞+∞解123,,kkk设为任意一组不全为零的常数，使得21230.kkxkx++=该方程至多只有两个实根，函数组线性无关.∴注1212(),()().()yxyxyxkyx两个函数线性无关两函数的比不为常数，即⇔≠三、二阶线性微分方程解的结构1.二阶齐次线性方程解的结构()()0(1)yPxyQxy′′′++=定理112112212()()(1)()()(1),.yxyxyCyxCyxCC=+如果函数和是方程的解，则也是方程的解，其中为任意常数1122()()(1)yCyxCyx=+问题：一定是方程的通解吗？定理212112212()()(1)()()(1),.yxyxyCyxCyxCC=+如果和是方程的两个线性无关的特解，则就是方程的通解，其中为任意常数注2n定理可以推广到阶齐次线性方程的情形.例20yy′′+=求微分方程的通解.二阶齐次方程解12cossinyxyx==观察到，是方程的两个特解，sintancosxxx=≠又常数，12,yy即线性无关，12cossinyCxCx∴=+原方程的通解为.2.二阶非齐次线性方程解的结构定理3**(2)(2)(1)(2).yYyYy=+设是二阶非齐次线性方程的一个特解，与对应的齐次方程的通解，则是二阶非齐次线性方程的通解()()()(2)yPxyQxyfx′′′++=证明*yYy′′′=+，*yYy′′′′′′=+，(2)代入方程得***()()()()()YyPxYyQxYy′′′...
