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向量的线性运算向量的表示法向量积数量积混合积向量的积向量概念直线曲面曲线平面参数方程旋转曲面柱面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程点法式方程一般方程空间直角坐标系例1解(3)(75)(4)(72)().ababababab+⊥−−⊥−设，，求,(3)(75)abab+⊥−，(3)(75)abab∴+⋅−22716150aabb=+⋅−=(*)(4)(72)abab−⊥−，(4)(72)abab∴−⋅−2273080aabb=−⋅+=(**)(*)(**)联立方程，解得222aabb⋅＝＝cos()ababab⋅=,12=().3abπ∴=,例2解0.abcabbcca++=×=×=×已知，试证0abc++=，()cab∴=−+，bc×故[()]bab=×−+babb=−×−×ba=−×ab=×ca×[()]aba=−+×aaba=−×−×ba=−×ab=×例3解5040481204xyzxzxyzπ++=−+=−−+=求过直线且与平面组成角的平面方程.设所求平面方程为(5)(4)0xyzxzλ+++−+=(1)5(1)40xyzλλλ+++−+=即，1(1,5,1)nλλ=+−其法向量，2(1,4,8).n=−−已知平面的法向量由题意得12122cos24nnnnπ⋅==222222(1)15(4)(1)(8)(1)5(1)1(4)(8)λλλλ+⋅+⋅−+−⋅−=+++−⋅+−+−23227λλ−=+34λ=−解得∴所求直线方程为207120.xyz++−=例4解22264416021145xyzxyzxyz++−−++=−−==−一平面通过的中心以及直线，求此平面方程.222(3)(2)(2)1xyz−+−++=(3,2,2)−球心：(2,1,0)为直线上的点，(1,1,2)a=−这两点构成的向量为，(1,4,5)s=−，nas=×取112145ijk=−−(3,7,5)=−−−∴所求平面方程为375130xyz++−=例5解0(1,0,4)1334100112LMxyzxyzL−+−−+−===设直线通过点且平行于平面，又与直线垂直，求直线的方程.1sns=×取(3,4,1)n=−已知平面的法向量，1(1,1,2)s=已知直线的方向向量，341112ijk=−(9,5,7)=−−∴所求直线方程为104.957xyz+−−==−−例6解0(1,1,1)010zxyz=−=−+=设一平面垂直于平面，并通过从点到直线的垂线，求该平面的方程.2100011ijks=−已知直线的方向向量(0,1,1)=(0,,1)tt+设垂足点坐标为，1(1,1,)stt=−+则垂线的方向向量，120ss⋅=由得12t=−，11(0,,)22−垂足点坐标为，111(1,,)22s=−−则，10(0,0,1)zn==平面的法向量11nns=×所求平面的法向量00111122ijk=−1(,1,0)2=−−∴所求平面方程为2...