问题的提出()()λ=xmfxPxe型()[()cos()sin]αββ=xlnfxePxx+Pxx型一、问题的提出()(1)(,)ypyqyfxpq′′′++=为常数0(2)ypyqy′′′++=对应的齐次方程：1122(2).YCyCy=+上一节中知方程的通解为(1)由二阶非齐次线性方程通解的结构定理，方程的通解为**(1)yYyy=+，其中为方程的任一特解.(1).y∗问题：如何求方程的一个特解()fx说明：只讨论自由项的两种常见形式.(1)()().xmfxPxeλ=().mPxxmλ其中为的次多项式，为常数(2)()[()cos()sin].xlnfxePxxPxxαββ=+(),(),lnPxPxxlnαβ其中分别为的次和次多项式，为实常数.*.y方法：待定系数法求()代数方法(1)形式的特殊情形：(i)0()()mfxPxλ=⇒=；(ii)()1()xmPxfxeλ=⇒=；(iii)()()axmafxPxeλ=⇒=为实数；()(iv)()().ixmifxPxeαβλαβ+=+⇒=为复数(2)形式的特殊情形：0α=(i)()()1()cossinlnPxPxfxxxββ==⇒=+；(ii)()0()()sinlnPxfxPxxβ=⇒=；(iii)()0()()cos.nlPxfxPxxβ=⇒=()()xmfxPxeλ=二、型*().xmypyqyPxeyλ′′′++=求的一个特解*()()xyQxeQxxλ=设是原方程的特解，其中为的多项式.()Qx问题：次数是多少？系数应如何确定？*()()xyQxeAλ=*[()()]()xyQxQxeBλλ′′∴=+*2[()2()()]()xyQxQxQxeCλλλ′′′′′=++()~()(1)xACeλ将代入方程消去得2()(2)()()()()(3)mQxpQxpqQxPxλλλ′′′+++++=2(i)(2)0.pqλλλ++≠不是方程的特征根，即()()mQxQx=令，*().xmyQxeλ=即201201(),,,mmmmQxbbxbxbxbbb=++++设，其中为待定系数.(3)x代入式比较两端的同次幂的系数即可.2(ii)(2)020.pqpλλλλ++=+≠是方程的特征单根，即，而(3)则式可化为()(2)()()(4)mQxpQxPxλ′′′++=()()mQxxQx=令，*().xmyxQxeλ=即2(iii)(2)020.pqpλλλλ++=+=是方程的特征二重根，即，且(3)则式可化为()()(5)mQxPx′′=2()()mQxxQx=令，*2().xmyxQxeλ=即()xmypyqyPxeλ′′′++=综上所述，方程具有如下形式的特解：*().kxmyxQxeλ=()()()mmQxPx其中系数待定是与同次的多项式，012kλλλ=，不是特征根；，是特征单根；，是特征重根.()xmypyqyPxeλ′′′++=求方程特解的步骤：1.(1)求方程相对应的齐次方程的特征方程、特征根.*2.()kxmyxQxeλ=设，201201(),,,mmmmQxbbxbxbxbbb=++++其中，为待定系数.**(0,1,,).iyyxbim′′′=计算，，代入原方程，比较两端的同次幂的系数求出Y以及通解.*3..yYy=+例12*1yyxy′′+=+求微分方程的一个特解.解2()()0()1.xmmfxPxePxxλλ==+是型，其中，210...
