可分离变量的微分方程举例一、可分离变量的微分方程1(1)2dyxdx=回顾上一节例的方程：，2dyxdx=即，x两端分别关于积分，得22.yxdxxC==+∫22dyxydx=问题：，22dyxydx=即，x两端分别关于积分，得22.yxydx=∫—含有未知函数，无法求积分.解决：0y≠当时，原方程可化为212dyxdxy=，x两端分别关于积分，得21xCy−=+，整理得21.yxC=−+可验证这就是原方程的通解.定义(,)(,)(,)0()()yfxyMxydxNxydygydyfxdx′=+==如果一阶微分方程或能转化成的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程.思考1212()()()()()()MxMydyNxNydxyfxgy=′=，是不是可分离变量的微分方程？2121()()()()MyNxdydxNyMx=1()()dyfxdxgy=2222ln010sectansectan0xyxyyydydxxydxyxdydydyxyyxdxdx+′−==+==+11lndydxyyx=22secsectantanyxdydxyx=−1010yxdydx−=解法()()gydyfxdx=x两端分别关于积分，C+∫∫—该函数即为原方程的通解.二、举例例12dyxydx=求微分方程的通解.解0y=显然是方程的解.0y≠当时，将方程分离变量得2.dyxdxy=两端积分，得21lnyxC=+，整理得2211xCCxyeee+==，注2().xyCeC∴=原方程的通解为为任意常数21Cxyee∴=±1(CCe=±令，2xCe=)C可正可负1.lnlnyyC以后在积分中，可以直接将写成，只要记住最后的常数可正可负即可.2..注意分母为零的情形例222()()0xxydxyxydy++−=求微分方程的通解.解原方程可化为22(1)(1)0.xydxyxdy++−=将方程分离变量得22.11yxdydxyx=+−两端积分，得22ln(1)ln(1)lnyxC+=−+，整理得221(1)yCx+=−，22(1)1(0).yCxC=−−≠即22(1)1(0).yCxC∴=−−≠原方程的通解为例300().tMMMMtt==放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含量成正比，已知，求在衰变过程中铀含量随时间的变化规律()放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象称为衰变.解()Mtt铀的衰变速度就是铀含量对时间的导数，dMkMdt=−由题意得微分方程为.(00.)dMkdt><其中称为衰变常数，负号是由于00.tMM==初始条件为将方程分离变量得.dMkdtM=−两端积分，得lnlnMktC=−+，整理得.ktMCe−=将初始条件代入，得0.CM=0.ktMMe−∴=例40设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与降落伞下落的速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时速度为，求降落伞下落速度与时间的函数关系.解()vt设降落伞下落速度为，mg降落伞受到的重力大小为，.kvk阻力大小为，其中为比例系数由牛顿第二定律，得dvmmgkvdt=−，00.tv==初始条件为将方程分离变量得1.dvdtmgkvm=−两端积分，得11ln()tmgkvCkm−−=+，整理得1ktkCMmgkve−−−=，1.kkCtmmgevCeCkk−=+=−即，其中将初始条件代入，得.mgCk=−(1).ktmmgvek−∴=−
