接下来我们要来研究函数项级数问题.对一般的函数项级数，仅介绍一些基本概念，不作详细讨论.我们只讨论一类特殊的最简单的函数项级数—幂级数.主要研究幂级数的收敛问题(§3)以及如何将一个函数用幂级数表示(§4).前两节我们介绍了常数项级数的概念及审敛法.函数项级数的概念幂级数及其收敛性幂级数的运算一、函数项级数的概念1.定义{()}(1,2,)nIuxn=给定一个定义在区间上的函数列，121()()()()().nnnuxuxuxIux∞=++++∑则称为定义在区间上的函数项无穷级数，记作1{}(,).nxx−∈−∞+∞例如：函数列，其中12111nnnxxxx∞−−==+++++∑则.就是一个函数项级数2.收敛点与收敛域01()nnuxxxI∞==∈∑在函数项级数中取，则得到常数01()nnux∞=∑如果常数项级数收敛，01()nnxux∞=∑则称为函数项级数的收敛点；否则称为发散点.1()nnux∞=∑函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域；所有发散点的全体称为发散域.0102001()()()().nnnuxuxuxux∞==++++∑项级数11nnx∞−=∑对于，1x<当时级数收敛；1x≥当时级数发散.(1,1)1.x∴−≥收敛域为，发散域为3.和函数1()()nnuxxsx∞=∑在收敛域内，函数项级数的和是的函数，1()()nnsxux∞=∑称为函数项级数的和函数，即1()().nnsxux∞==∑即1()()nnnuxnsx∞=∑函数项级数的前项部分和记作，即12()()()().nnsxuxuxux=+++lim()().nnsxsx→∞=显然在收敛域内，有()()()nnrxsxsx=−余项，lim()0.nnrx→∞=则在收敛域内有注.x函数项级数在某点的收敛问题，实质上是常数项级数的收敛问题11nnx∞−=∑例如(1,1).x∈−()sx=11x=−，例11nxnne∞−=∑求函数项级数的收敛域.解nxnune−=令，(1)1(1)limlimnxnnxnnnuneune−++−→∞→∞+=则1limxnnen−→∞+=.xe−=1xe−<当，级数收敛；0x>即时，1xe−>当，级数发散；0x<即时，1xe−=当，0x=即时，1nxnne∞−=∑1nn∞==∑发散.(0,).∴+∞级数的收敛域为二、幂级数及其收敛性1.定义00()nnnaxx∞=−∑形如的级数称为幂级数；000nnnxax∞==∑当时得，.na其中称为幂级数的系数0xxt−=令，0.nnnax∞=∴∑只须研究幂级数即可000()nnnnnnaxxat∞∞==−=∑∑，2.收敛性0nnnax∞=∑对于幂级数，0x=显然是它的收敛点.201nnnxxxx∞==+++++∑例如幂级数，11xx<≥当时级数收敛；当时级数发散.(1,1)1.x∴−≥收敛域为，发散域为0()观察：收敛域是以为中心的对称区间不考虑端点，这一结论是否对所有的幂级数都成立？定理1(Abel定理)000(0)nnnaxxxx∞==≠∑如果幂级数在处收...
