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定义01(,)lim(,)((,))niiiiDiifxydfDλσξησξη→==∆∑∫∫与区域的分法以及点的取法无关性质与定积分相类似的性质（线性性、对积分区域的可加性、保序性、估值、中值）计算⇒利用直角坐标化为二次积分利用极坐标对称性11.()DxxD关于轴对称轴上方部分记为12(,)(,)(,)(,)0(,)(,)DDfxydfxyfxyfxydfxyfxyσσ=−=−=−∫∫∫∫，当则，当12.()DyyD关于轴对称轴右边部分记为12(,)(,)(,)(,)0(,)(,)DDfxydfxyfxyfxydfxyfxyσσ=−=−=−∫∫∫∫，当则，当13.()DxyD关于轴、轴均对称第一象限部分记为14(,)(,)(,)(,)0(,)(,)(,)(,)DDfxydfxyfxyfxydfxyfxyfxyfxyσσ=−=−=−−=−∫∫∫∫，当则，当或(,)fxy=−定义01(,,)lim(,,)((,,))niiiiiiiifxyzdvvλξηζξηζ→=Ω=∆Ω∑∫∫∫与区域的分法以及点的取法无关性质与二重积分相类似的性质（线性性、对积分区域的可加性、保序性、估值、中值）计算化为三次积分()(1)()投影法先一后二法利用直角坐标截面法先二后一法(,,)()zfxyzfzxOyS=Ω若被积函数只依赖于一个变元，如，并且当平行于面的平面与相截时，其截面积容易求出，则用截面法计算三重积分，()()().zddzccDfzdxdydzfzdzdxdyfzSdzΩ==∫∫∫∫∫∫∫(2)cossinxryrzzdvrdrddzθθθ====利用柱坐标，，2(3)sincossinsincossinxryrzrdvrdrddϕθϕθϕϕϕθ====利用球坐标，，对称性1()xOyxOyΩΩ关于面对称面上方部分记为1(,,)2(,,)(,,)(,,)0(,,)(,,)fxyzdvfxyzdvfxyzfxyzfxyzfxyzΩΩ=−=−=−∫∫∫∫∫∫则，当，当例12(,)(,)cos()(,)(,)yDfxyfxyxexxyfxydxdyDyxyxfxy=−+==∫∫设连续函数满足，其中是由曲线及所围成的平面有界闭区域，求.解(,)Dafxydxdy=∫∫令，(,)cos().yfxyxexxya=−+则(,)cos()DyDDDafxydxdyxedxdyxxydxdyadxdy==−+∫∫∫∫∫∫∫∫1122yDDxedxdyadxdy=+∫∫∫∫2101.Dxxyx≤≤≤≤：，22110022xxyxxdxxedyadxdy=+∫∫∫∫2112002()2()xxxeedxaxxdx=−+−∫∫13.3ea=−+932ea−=解得，93(,)cos().2yefxyxexxy−∴=−+例221101.DyxdDxyσ−−≤≤≤≤∫∫计算，其中：，解1D2D3D划分积分区域，如果所示123222()()DDDDyxdxydyxdσσσ−=−+−∫∫∫∫∫∫212110DDxyx−≤≤≤≤：，；23111Dxxy−≤≤≤≤：，.2211122101()()xxdxxydydxyxdy−−=−+−∫∫∫∫11.15=例321sin()02DIxydDyxyxσπ=−+===∫∫计算，其中是由直线，及所围成的区域.解...