南京航空航天大学第1页（共5页）二○一四～二○一五学年第一学期《工科数学分析》研讨测试1评分标准考试日期：2014年11月6日试卷类型：试卷代号：班号学号姓名题号一二三四五六七八总分得分一、每题4分，共12分1、存在是数列｛｝有界的（）.(B)(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件2、当x→0时，下列函数哪一个是x的三阶无穷小（）.(C)(A)(B)(C)(D)3、已知，其中是常数，则（(A)）.(A)(B)(C)(D)本题分数12得分第2页（共5页）二、每题10分，共20分1、叙述区间I上一致连续的定义，举例说明连续未必一致连续，并说明什么区间上的连续函数一定一致连续................4分例如，...............7分...............10分2、叙述Cauchy数列的定义以及Cauchy收敛准则，并用Cauchy收敛准则证明数列收敛.Cauchy数列的定义：如果对，若有为Cauchy数列（基本数列）；...............3分Cauchy收敛准则：数列极限存在的充要条件是:或；......6分证明：故收敛.............10分三、第1题8分，第2、3题每题6分，共20分本题分数20得分第3页（共5页）1、设，证明存在，并求其值.证明：（1），，与异号，从而有，，，所以单调减少，单调增加所以均存在。..........................4分（2）..........................8分2、求极限............................3分..........................6分不存在3、求极限.（其中）............................2分...........................5分..........................6分本题分数20得分第4页（共5页）四、按定义证明:.........................6分（注意：无论过程怎样，能完整的写出语言就给2分！）五、求曲线的所有渐近线.斜渐进线为，......................6分垂直渐进线为，.....................8分.....................10分六、求函数的间断点，并判断其类型......................6分间断点为，.....................8分为跳跃间断点；为无穷间断点.....................10分七、叙述并证明闭区间上连续函数的零点存在定理.本题分数8得分本题分数10得分本题分数10得分本题分数10得分第5页（共5页）零点定理：若且....................6分证明：将重复上述步骤，得闭区间套：且满足由闭区间套定理：从而：.....................10分八、设函数，，求证：，使得.反证法，设，则（要不然由零点定理至少在某点，）.................5分不设一般性，设，则，即，与条件矛盾！..........10分本题分数10得分
