南京航空航天大学第1页（共5页）二○一二～二○一三学年第2学期《工科数学分析》期中考试试题考试日期：2013年5月4日试卷类型：试卷代号：班号学号姓名题号一二总分得分一、客观题（每题4分，共40分）1.曲线在点处切线的的参数方程为.2.设函数由方程所确定，其中是可微函数，且，则.3.当时，抛物线与正弦曲线在点相切，并有相同的曲率.4.用柯西收敛原理叙述级数收敛的充分必要条件是.；正项级数收敛的充分必要条件是.（1），，当时，对，有.（2）部分和数列有界.5.函数在点处沿A点指向点的方向导数为，在点处的方向导数的最大值为，最小值为.本题分数40得分第2页（共5页）6.曲面当时的切平面方程为.7.设，则（）（C）（A）（B）（C）（D）8.旋转曲面是（）（B）（A）平面上椭圆绕轴旋转成的椭球面（B）平面上椭圆绕轴旋转成的椭球面（C）平面上椭圆绕轴旋转成的椭球面（D）平面上椭圆绕轴旋转成的椭球面9.设，，其中，则（）（A）（A）（B）（C）（D）10.下列结论正确的是（）（C）（A）若级数和均为发散，则级数必为发散（B）级数当时收敛，现在因为，所以级数收敛（C）若，则必发散（D）若且，则收敛，其和本题分数60得分第3页（共5页）二、解答题（共60分）11.（8分）设有连续的二阶偏导数，令，求.12.（8分）设直线在平面上且平面又与曲面相切于点，求的值.解：曲面的法向量为，则平面方程为，即，于是直线的方向向量可取为，由可得，由直线方程知，故.13.（10分）求幂级数的收敛域与和函数.解：令，，则，由于=，,因此，又由于，故所以14.（8分）已知是等腰梯形，求，，的长，使该梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大.第4页（共5页）解：设，则旋转体体积为.由，得.故.也可以用条件极值做！15.（7分）证明：.证明：令，，则由上述解得：.所以，即原不等式得证.16.（7分）证明函数在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.解：由于有界，，所以在（0,0）连续.同时.可得，显然不存在，故在(0,0)不连续，同理在(0,0)不连续.又由于，所以f在原点(0,0)可微.17.（6分）讨论的收敛性，若收敛是条件收还是绝对收敛.解：条件收敛。，18.（6分）设级数的各项，，{}为一正实数数列.记第5页（共5页），证明：若，且为有限正数，则收敛.进一步若，问是否收敛？请说明理由.证明:若为有限正数，则，由极限的保号性，，当时，，即，由此，有（），所以数列{}单调递减，显然，由单调有界准则有存在，设。构造正项级数，由于其部分...
