高数上有理函数的不定积分.pptVIP免费

3.2.5有理函数的不定积分一、有理函数mmmmmnnnnnbxbxbxbxbaxaxaxaxaxQxPxR122110122110)()()()(xR叫有理函数，它是两个实系数多项式之商所表示的函数。例如：32xx，3)1(13xxx，12214xxx都是有理函数。1.有理函数的分类)(xR按分子与分母的最高次幂nm与的不同情况可分为（1）当mn时，)(xR称为真分式；（2）当mn时，)(xR称为假分式。若)(xR是假分式，可把它化为多项式与真分式之和例如6531659242223xxxxxxxxx。2．把真分式分解为部分分式设)()(xQxP为真分式。（1）分母)(xQ中若有因式kax)(，则分解后有下列k个部分分式之和：特别地，当1k时，则分解后有axA。,)()(221kkaxAaxAaxA其中,,21kAAA都是常数。kkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM)()(22222211特别地，当1k时，则分解后有qPxxNMx2。（2）分母)(xQ中若有因式kqpxx)(2，其中042qp，则分解后有下列K个部分分式之和：其中,,21kMMM；,,21kNNN都是常数。例如真分式22322)32()2)(1(13xxxxxx的分母中含有2x，)1(x，3)2(x，22)32(xx，故其分解式为下列八个部分分式之和：332211221)2()2(21xCxCxCxBxAxA2222211)32(32xxExDxxExD例1．求dxxxx6532解：23)2)(3(3)04(65322xBxAxxxqpxxx，,)2)(3()3()2(6532xxxBxAxxx),3()2(3xBxAx下面用两种方法确定系数BA和。（1）赋值法令2x，得B5，5B，令3x，得A6，6A。（2）比较法,32)()3()2(3BAxBAxBxAx563321BABABA∴25366532xxxxx∴dxxxx6532Cxx2ln53ln6dxxx)2536(.)2()3(ln56Cxx例2．求dxxx2)1(1解：22)1(1)1(1xCxBxAxx，,)1()1(12CxxBxxA令1x，1C，比较2x项的系数：0BA，1B。∴22)1(1111)1(1xxxxx，.111ln])1(1111[)1(122Cxxxdxxxxdxxx令0x，1A，例3．求dxxxxx)22)(2(22解：22)2()22)(2(222xxCBxxAxxxx，)2)(()22(22xCBxxxAx，令0x，)(20CA，2C；比较2x的系数，1BA，1B。∴22222)22)(2(222xxxxxxxx，令2x...