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20078年月南京航空航天大学理学院数学系1第五章习题课20078年月南京航空航天大学理学院数学系2平面点集和区域平面点集和区域多元函数的极限多元函数的极限多元函数连续的概念多元函数连续的概念极限运算极限运算多元连续函数的性质多元连续函数的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容20078年月南京航空航天大学理学院数学系3全微分的应用全微分的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数求导法则隐函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性全微分形式的不变性微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分概念全微分概念偏导数概念偏导数概念20078年月南京航空航天大学理学院数学系41、区域设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）邻域),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx0P连通的开集称为区域或开区域．（2）区域20078年月南京航空航天大学理学院数学系5（3）聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.（4）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.20078年月南京航空航天大学理学院数学系6设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP).(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.2、多元函数概念定义当2n时，n元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数．20078年月南京航空航天大学理学院数学系7定义设函数),(yxfz的定义域为,D),(000yxP是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.3、多元函数的极限20078年月南京航空航天大学理学院数学系8说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0BBAP...